正态分布场合下无失效数据的可靠性参数估计

2012-03-12徐天群陈跃鹏刘焕彬

统计与决策 2012年16期

徐天群，陈跃鹏，刘焕彬

(1.武汉理工大学a.理学院；b.自动化学院，武汉430070；2.黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄州438000）

0 引言

在可靠性试验中，获得的数据一般是定数或定时截尾数据。在定时截尾试验中，有时会遇到无失效数据，即在规定的时间内没有样品失效（r=0）。当产品可靠性不很高时，定时截尾数据中的失效数通常有r≥1，此时已有较成熟的统计方法来处理该类数据。但随着科学技术的发展，产品的质量越来越高。在可靠性试验中，“无失效数据”的现象越来越多。因此，对无失效数据进行可靠性研究具有很重要的应用价值。

自Martz和Waller[1]用无失效数据作验证试验以来，对无失效数据的研究已有二十多年的历史了。在无失效数据的处理中，为了充分利用产品的各种先验信息以提高估计的精度，常常采用Bayes方法。韩明[2给出了无失效数据情形超参数取某种先验分布下失效概率的多层Bayes估计和E-Bayes估计。张晓冉[3]研究了无失效数据失效概率的单层Bayes迭代估计和多层Bayes迭代估计。傅惠民，张勇波[4]提出了一种正态分布定时无失效数据可靠性分析方法。张志华，姜礼平[5]利用分布函数的凹凸性，给出了正态分布场合下失效概率的Bayes估计，进而得到了产品可靠性指标的估计。李亿民[6]给出了失效概率的多层Bayes估计，进而给出了正态分布参数及可靠度的估计。宁江凡[7]利用Bayes法和最小二乘法，给出了液体火箭发动机无失效条件下失效概率和可靠度的估计。

本文将给出正态分布参数及可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计。

1 失效概率pi的E-Bayes估计和多层Bayes估计

假设某产品的寿命服从正态分布，即T～N(μ, σ2)，其密度函数为：

其中，t＞0，σ＞0。

对某产品进行m次定时截尾试验，截尾时间为ti(t1＜t2＜…＜tm)，ni为相应的试验样品数，若整个试验过程没有一个样品失效，则称（ti，ni）（i=1，2，…，m）为无失效数据。这组无失效数据也可写为（ti，si)（i=1，2，…,m）。其中，；i=1，2，…,m。

文献[8]提出了处理无失效数据的一种方法—加权最小二乘法。利用该方法对产品寿命分布的参数和可靠度进行估计时，首先是要给出时刻ti处失效概率pi=P(T＜ti)的估计p̂i，其中T是产品的寿命；然后用加权最小二乘法估计寿命分布中的各个参数；最后给出可靠度的估计。其中关键是要给出失效概率pi的估计。

1.1 pi的E-Bayes估计的定义

若 pi的先验分布为共轭分布—Beta分布，其密度函数为：

其中，a和b为两个超参数，0＜pi＜1, a＞0, b＞0，为Beta函数。

在无失效数据中，认为产品的失效概率大的可能性小，小的可能性大，因此应取 pi的减函数作为 pi的先验分布。通过求导知，当0＜a≤1, b＞1时，π(pi|a,b)为pi的减函数。

当a=1, b＞1时，π(pi|a,b)仍为 pi的减函数。由于在贝叶斯估计中，要考虑估计的稳健性，当先验分布的尾部越细时，Bayes估计的稳健性越差，所以b不宜太大，假定b的一个上界为c，这样可以确定b的范围为1＜b＜c。当a=1时，pi的先验分布为：

其中，0＜pi＜1, 1＜b＜c。

从定义可以看出，pi的E-Bayes估计是将的Bayes估计）对超参数b求数学期望（expectation）。

1.2 pi的E-Bayes估计和多层Bayes估计

定理1[2]对某产品做m次定时截尾试验，所有样品没有一个失效，得到一组无失效数据为（ti，ni）(i=1，2，…，m)。记si=；i=1，2，…,m。若pi的先验分布由式（2）给出，超参数b的先验分布为（c＞1），则在平方损失函数下

（1）pi的E-Bayes估计为：

（2）pi的多层Bayes估计为：

定理2对某产品做m次定时截尾试验，所有样品没有一个失效，得到一组无失效数据为（ti，ni）(i=1，2，…，m)。记si=；i=1，2，…,m。若pi的先验分布由式（2）给出，超参数b的先验分布为（1＜b＜c），则在平方损失函数下

（1）pi的E-Bayes估计为：

（2）pi的多层Bayes估计为：

证明：（1）在无失效数据情形下，pi的似然函数为[8]：

若pi的先验分布由式（2）给出，则根据Bayes定理，pi的后验分布为：

在平方损失函数下，pi的Bayes估计为后验均值，即

若超参数b的先验分布为

则pi的E-Bayes估计为:

（2）pi的多层先验分布为:

pi的多层后验分布为:

在平方损失函数下，pi的多层Bayes估计为后验均值，即：

定理3对某产品做m次定时截尾试验，所有样品没有一个失效，得到一组无失效数据为（ti，ni）(i=1，2，…，m)。记 si=；i=1，2，…,m。若pi的先验分布由式（2）给出，超参数b的先验分布为（1＜b＜c），则在平方损失函数下

（1）pi的E-Bayes估计为：

（2）pi的多层Bayes估计为：

该定理的证明同定理2，证明略。

2 正态分布参数及可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计

假设某产品的寿命服从正态分布，其密度函数为式（1），则时刻t处可靠度的估计为，其中Φ(·)为标准正态分布的分布函数。

利用加权最小二乘法，得到参数μ和σ的估计分别为[8]：

由定理1、2、3可以得到失效概率pi在超参数b分别取3种先验分布时的E-Bayes估计和多层Bayes估计：，用这些估计分别代替上面的，得出μ̂和；再由分布函数即可求得时刻t正态分布可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计分别为：(j=1,2，3)。

3 实例分析

3.1 轴承寿命分布的参数及可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计的计算结果

某轴承的无失效数据[9]（单位时间：小时）如表1，假定轴承的寿命服从正态分布。

表1 轴承的无失效数据

表2 参数和可靠度的计算结果

3.2 经典方法可靠度的估计结果

经典方法[8]是指先利用次序统计量给出诸 pi的估计；然后利用加权最小二乘法来拟合正态分布曲线。用经典方法计算出该轴承寿命分布的参数和77小时处、277小时处可靠度的估计分别为：

3.3 结果分析

表3 参数和可靠度的计算结果

c 2 3 4 μ̂EB2 σ̂EB2 R̂EB2（77）R̂EB2（277）μ̂HB2 σ̂HB2 R̂HB2（77）R̂HB2（277）5 1560.9 590.7058 0.9940 0.9851 1564.9 592.8436 0.9940 0.9851 1603.6 614.5296 0.9935 0.9846 1615.4 620.6766 0.9934 0.9845 1644.5 637.0049 0.9931 0.9841 1665.1 647.5390 0.9929 0.9840 6 1683.8 658.3337 0.9927 0.9837 1713.3 673.1612 0.9925 0.9836 1721.7 678.6706 0.9923 0.9834 1760.0 697.5339 0.9921 0.9832

表4 参数和可靠度的计算结果

c 2 5 6 3 4 μ̂EB3 σ̂EB3 R̂EB3（77）R̂EB3（277）μ̂HB3 σ̂HB3 R̂HB3（77）R̂HB3（277）1601.2 613.3799 0.9935 0.9846 1605.5 615.7039 0.9935 0.9845 1696.8 666.2236 0.9925 0.9835 1706.8 671.4286 0.9924 0.9834 1794.9 719.4664 0.9915 0.9826 1809.8 726.9790 0.9914 0.9825 1894.1 772.4207 0.9907 0.9819 1913.1 781.7173 0.9906 0.9818 1994.1 824.9484 0.9899 0.9813 2016.4 835.6001 0.9899 0.9813

对表2～4分析如下：

（1）对不同的c，可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计都是稳健的。在应用中，c可以取区间（2，6）的中点，即c=4。

（2）对相同的c和相同的时间t，在超参数取同一种先验分布下，可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计非常接近；可靠度的三种E-Bayes估计有：，三种多层Bayes估计有：；由经典方法得出的可靠度的估计比E-Bayes估计法和多层Bayes估计法要大（取c=4）。

（3）当c增大时，可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计都减小。