基于θ－D 方法的在轨操作相对姿轨耦合控制

李鹏 岳晓奎 袁建平

（西北工业大学航天学院，西安 710072）

1 引言

航天器的结构和功能日趋复杂，航天技术的发展使得在轨操作等新的空间任务成为可能，这对相对动力学的建模和航天器控制提出了更高的要求。对目标的在轨操作任务往往不允许在轨道控制前进行姿态调整，因此有必要根据服务航天器与目标航天器的姿态指向与相对位置的关系，建立相对姿轨耦合模型并设计航天器一体化控制算法以实现相对轨道和相对姿态的同步控制。

文献［1］在对小卫星进行一体化控制时将轨道和姿态分开独立进行，分别建立了轨道和姿态的观测器与控制器。近年来航天器六自由度建模与控制逐渐成为研究热点，文献［2－3］分别基于SDRE方法和自适应控制理论设计了航天器的一体化控制器以对轨道和姿态进行同步控制。文献［4］针对编队飞行的初始化控制问题，分别设计了带有推力约束的SDP轨道控制器和变结构姿态跟踪控制器。文献［5］中对控制算法的讨论较为完善，设计了基于神经网络的自适应控制器以改善滑模控制器的控制效果。以上的研究工作尚未对模型中存在的耦合影响进行深入讨论，也未针对空间非合作旋转目标的运动特性设计基于相对动力学模型的最优控制器来解决近距离相对运动过程中轨道和姿态的紧耦合问题。

针对以上问题，本文首先建立了服务航天器与目标航天器在近距离相对运动的姿轨耦合动力学模型；分析姿轨耦合效应对轨道和姿态产生的影响；针对旋转非合作目标在轨加注任务的最终逼近段轨道姿态耦合控制问题，以控制能量消耗和控制误差最小为性能指标，将相对运动状态归结为统一的最优控制问题，采用θ－D 方法设计了相对姿轨耦合控制器。

2 相对运动模型

（1）相关坐标系

1）惯性系Oixiyizi（si）：原点在地心Oi，xi轴指向春分点，zi轴指向天球北极，yi轴满足右手定则。2）轨道系Oxyz（so）：原点O为目标航天器质心，z轴指向地心，x轴在轨道面内沿速度方向与z轴垂直，y轴满足右手定则。3）本体系Obxbybzb（Sb）：原点在航天器质心Ob，xb，yb，zb分别与惯性主轴一致。

（2）相对轨道动力学模型

惯性系下，两航天器的运动方程为

式中 μ为地球引力常数；目标航天器和服务航天器分别用下标t和c表示；fc为服务航天器的轨道控制加速度；fcd和ftd为轨道摄动加速度；rc和rt为地心到航天器质心的位置矢量。ρ为相对位置矢量，则在目标航天器轨道坐标系下ρ＝rc－rt＝ ［x y z］T。根据惯性系与目标航天器轨道坐标系的导数关系有

式（4）是精确的相对运动方程，将f（x，y，z）泰勒展开并保留二阶项，经推导得到：

（3）相对姿态动力学模型

服务航天器和目标航天器的姿态动力学方程为

式中 Jc、Jt为转动惯量；ωc、ωt为本体系相对惯性系的姿态角速度；Tcd、Ttd为姿态干扰力矩；Tcb

为服务航天器的姿态控制力矩。假设服务航天器和目标航天器的姿态为，，其中为四元数的矢量部分。设α×为向量α 的反对称矩阵，则相对姿态四元数qe为

式中 qt＊为qt的共轭四元数；“◦”为四元数乘法符号，设服务星本体系和目标星本体系相对惯性系的转换矩阵为目标星本体系stb到服务星本体系scb的转换矩阵，则有

服务航天器相对目标航天器的角速度ωe和角加速度˙ωe在坐标系scb中的表示为代入式（6），经推导可得姿态指向误差动力学方程为

（4）轨道姿态耦合动力学模型及分析

由于航天器的姿轨控发动机沿卫星本体布设，轨道控制推力通常在航天器本体系中实现，因此惯性系中的推力矢量通常由本体系下转换而来，即，mc为服务航天器质量，Fci和Fcb为惯性系和本体系下的轨控推力矢量；表明航天器的推力矢量配置要用到本体系相对于惯性系的姿态信息，即航天器的轨道控制会受到本体姿态的影响，这是姿轨耦合的一个重要体现。

在姿态指向误差动力学方程中，姿态干扰力矩Tcd中的重力梯度力矩为可以看到，干扰力矩的大小除受航天器本体转动惯量的影响外，还受到轨道半径rc的影响，即航天器的本体姿态也会受到轨道的影响，这也是姿轨耦合的一个重要体现。

考虑到空间环境中的未建模干扰对航天器本体造成的影响，将ε＝－0.000 1增加到姿态指向运动学方程中作为补偿［6］，由此可以得到增广姿态指向误差运动学方程：

为将式（12）的非线性模型化为类线性结构，将其中与状态变量无关的两项分别除以qe0。选取状态变量和控制变量联立相对轨道方程和相对姿态方程，经推导得到状态相关系数形式的六自由度相对姿轨耦合动力学模型：

式中 状态相关矩阵 A（x）13×13，控制分配矩阵g13×6及其矩阵中的子块分别为

单位阵I和零矩阵0的下标表示该矩阵的维数。A（x）中的各元素为

3 相对姿轨耦合θ－D 控制器设计

（1）θ－D 次优控制方法［6］

式中 最优解V（x）＞0且V（0）＝0，最优控制u＝－R－1gT（∂V／∂x），由于HJB方程很难直接求解，在最优性能指标中加入摄动项，得到：

原非线性系统状态方程可写为

式中 θ为中间标量；A0为常值矩阵；定义。使包含θ的项的系数等于零，得到

θ－D 控制方法具有全局渐近稳定性，其具体证明过程参见文献 ［6］，由此可得控制量为

（2）相对姿轨耦合控制器设计

航天器在轨操作过程中，控制精度高且燃料消耗较大，宜采用考虑此约束的最优控制进行控制律设计，且相对姿轨耦合模型的状态多达十几维，对于大型航天器考虑挠性附件时甚至高达几十维。应用θ－D 控制方法设计控制器时可综合考虑控制误差和燃料消耗，且每次解算只需求解一次Riccati方程，对高维数系统能大大减少计算量，节约星上资源。因此特别适用于需要实时解算且计算能力有限的空间任务。本文正是基于此方法设计了相对姿轨耦合控制器。

经调试，选取扰动系数k1＝k2＝1.0，l1＝l2＝0.004，控制加权矩阵和状态加权矩阵分别为R＝diag ｛5000，5000，5000，1，1，1｝，Q＝diag｛0.01，0.01，0.01，0，0，0，100，0，0，0，100，100，100｝。设x为真实状态向量，xd为理想状态向量，相对姿轨耦合控制器u的表达式为

4 数值仿真及结果分析

航天器在空间运行时由于燃料不足或燃料耗尽可能导致航天器无法有效进行姿态稳定与控制，进而在空间处于以一定的角速度旋转的状态。作为在轨操作技术的一项重要组成部分，在轨加注是指通过装载有推进剂的服务航天器与目标航天器的交会对接，将存放于服务航天器储箱的推进剂由管线传输到目标航天器的技术。假设初始时刻目标航天器处于绕最大惯量轴旋转的状态，本体系与轨道系重合，自旋轴为轨道面法向且对接口方向与自旋轴垂直。假设两航天器对接口分别沿本体系X 轴正向布设，服务航天器的轨控推力连续可控，相对导航系统可对目标航天器的运动状态精确量测，提供的数据可靠，精度满足要求。

目标航天器轨道六要素分别为a＝7 000km，e＝0，Ω＝π／6，i＝π／4，ω＝π／6，tp＝0，旋转角速度ωt＝［0，－0.014 5，0］Trad／s。初始和期望相对位置和速度分别为ρ＝ ［－60，0，－30］Tm，＝［0.5，0.7，0.9］Tm／s，ρd＝ ［0，0，0］Tm＝ ［0，0，0］Tm／s，相对姿态四元数和角速度qe＝［0.860 2，0.1，0.3，0.4］T，ωe＝ ［－0.02，－0.01，0.03］Trad／s。服务航天器质量为650kg，转动惯量Jc＝diag ｛417，538，380｝ kg·m2，轨控推力和姿态控制力矩的输出范围分别为±10N 和±0.5N·m。仿真时间为300s，积分步长0.1s。

从图1、图2可知，前100s相对距离和相对速度均大幅减小，在初始偏差较大的情况下，服务航天器以小于1m／s的速度向目标航天器快速接近；100～200s时，两航天器基本完成交会，以缓慢速度向目标航天器进一步临近停靠；200～300s时，相对距离减小到0，表明两航天器已达到对接位置，同时相对速度也减小为0，两航天器达到并保持相对静止。

图1 目标航天器轨道坐标系下相对位置曲线Fig.1 Curves of relative position intarget spacecraft orbit frame

图2 目标航天器轨道坐标系下相对速度曲线Fig.2 Curves of relative velocity in target spacecraftorbitframe

由图3、图4可知，初始时刻两航天器存在姿态偏差且目标航天器以一定角速度旋转，服务航天器在前100s以较大的角速度进行姿态机动，消除偏差并追踪目标航天器的姿态变化；第100～200s时，服务航天器的姿态以很小角速度进行微调，以使qe→［1，0，0，0］T；在200～300s时，相对姿态也趋于一致，同时相对角速度也减小到零，表明服务航天器已跟踪上目标航天器的姿态，两航天器的对接口指向精确对准。

由图5、图6可知，前150s时，由于初始时刻相对位置和相对姿态均存在较大偏差，执行机构施加的轨道控制力和姿态控制力矩较大；150～300s时，在保证安全性的情况下，服务航天器以很小的轨控推力向目标低速缓慢接近，同时姿态控制力矩逐渐减小。两航天器基本实现对接后，控制量减小到0。整个控制过程中，控制量曲线光滑，轨道控制力和姿态控制力矩较小且都在执行机构的正常输出范围内，实现了对加注对接过程的控制。

图3 相对姿态四元数曲线Fig.3 Relative attitude quaternion

图4 服务航天器本体系下相对姿态角速度曲线Fig.4 Relative attitude angular velocity in serve spacecraft body fixed frame

图5 轨道控制力曲线Fig.5 Curves of orbit control force

图6 姿态控制力矩曲线Fig.6 Curves of attitude control torques

由图7、图8可知，服务航天器对目标的逼近不同于直线型轨迹。初始相对状态偏差较大的情况下，服务航天器的轨道和姿态均变化较快，相对距离减小的同时还需不断调整自身姿态，以使最终时刻两航天器的对接口匹配。由此可见，θ－D 控制器可以解决超近距离相对运动时存在的轨道姿态紧耦合问题。

图7 服务航天器最终逼近轨迹Fig.7 Curves of final approach of servicing satellite

图8 相对位置姿态在目标航天器轨道面的投影Fig.8 Relative motion state projected in the target orbit plane

5 结束语

本文以空间操作为背景，研究了航天器近距离相对运动时相对轨道和姿态的6自由度控制问题，建立了基于状态相关系数形式的姿轨耦合动力学模型对两航天器的相对轨道和姿态运动进行完整描述，在考虑轨道摄动和姿态干扰的情况下分析了轨道和姿态之间的相互影响。与传统非线性最优控制器相比，θ－D 控制算法能大大减小计算量，降低对计算能力的要求，便于工程实现，为航天器相对运动的精确控制提供了一种可行的选择。仿真结果证明了模型的有效性，表明了控制器能够使服务航天器快速跟踪上目标航天器的姿态并使两航天器的相对位置快速收敛到期望值，实现靠拢和对接过程中的轨道姿态同步控制。

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