向量在解析几何中应用的2个常见误区

●毛亦飞 (武岭中学 浙江奉化 315502)

向量在解析几何中应用的2个常见误区

●毛亦飞 (武岭中学 浙江奉化 315502)

解析几何是中学数学的核心内容之一，在数学高考中占有十分重要的地位．解析几何的基本思想是利用代数方法研究几何:曲线用怎样的代数形式表示，某个代数式描述怎样的几何性质，怎样表述各种位置关系和数量关系等本质问题．平面向量，尤其是运用点的位置向量的坐标表示法，可以直接切入几何问题的讨论，为平面解析几何提供一种新的表示方法．特别是在处理度量、角度、平行、垂直等问题时，向量工具有其独到之处．但是，在教学中发现，向量在解析几何中的应用存在如下误区:

误区1一遇垂直就用数量积等于0

在解析几何中经常会遇到有关垂直的问题，此类问题通常可以采用的方法有利用勾股定理、斜率之积等于－1和向量的数量积等于0．勾股定理由于涉及3条边的长度计算往往要通过两点的距离公式求得，因此计算较麻烦，应用得较少．应用较多的是斜率之积等于－1和向量的数量积等于0，学生更愿意采用后者．究其原因主要是斜率之积等于－1，经常要讨论斜率存在与否和是否为0:一来比较麻烦;二来容易忘记特殊情形的分析，造成解题的不严密，而向量数量积等于0不需要讨论．的确在很多时候向量数量积等于0解决有关垂直问题很方便，学生在学习中遇到垂直问题应用向量数量积等于0更是屡屡成功，也逐渐形成了思维定势:遇到垂直便想到利用向量数量积等于0．事实上，并非所有的问题都如此．

例1已知动圆过定点F(0，2)，且与定直线l:y=－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程．

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0，2)，分别以A，B为切点作轨迹C的切线．设2条切线交点为Q，证明AQ⊥BQ．

该题当时是布置给学生的作业题，全班50人中有43人是正确的，即利用向量的数量积等于0证明垂直，只有1位学生是利用斜率之积等于－1证明垂直，具体解法如下:

(1)略．

(2)证明因为直线AB与 x轴不垂直，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AB 的方程为

尽管运用2种解法都可以证明垂直，但运算量不同:利用斜率之积等于－1可以很便捷地运算，而利用数量积等于0则需要较多的运算．学生在解决该问题时，缺少分析，思维定势:遇到垂直便利量积等于0．产生这种误区的原因有很多，其中几个比较典型的是:(1)学生对分类讨论存在害怕的心理，可以避免讨论总想办法避免，当然这也是正确的策略;(2)对垂直问题的真正背景很少仔细分析;(3)对导数的几何意义理解不透彻．再往深层分析，了解到产生这种现象的原因是学生对于新的学习内容(即利用向量方法解决解析几何问题)未能很好地“消化”，与已有的知识、经验形成了直接冲突．

向量在解析几何中应用之所以会产生以上几个常见误区，主要原因有:一是学生的学习过于机械与死板;二是教师在教学中过于强调向量方法的优越性，而缺少对方法的具体适用性;三是学生在学习中缺少主动探索解决问题方法的精神和对具体解析几何图形的把握能力．要使学生走出误区，笔者认为可以从以下几个方面去尝试:

(1)重视几何意义

(2)学会总结反思

在解析几何中有关垂直又与点的坐标有关的问题，选择向量数量积解决的确方便，但是如果涉及垂直，直线的斜率可由导数求得，即根据导数的几何意义，函数f(x)在x=x0处的导数即函数f(x)在x=x0处的切线的斜率，也就是涉及的直线是曲线的切线，那么选择斜率之积等于－1会更方便．教师在课堂教学中要不断地进行2种方法的对比，使学生对所学新知识即用向量方法解决解析几何问题和用原有的代数方法解决解析几何问题有一个比较．教师要创造适当的外部环境来促进学生的自我反省并引起必要的“观念冲突”，如举反例就是实现上述目标的一个十分有效的手段．

(3)倡导主动探索

著名数学家波利亚曾提出“学习任何东西的最佳途径是靠自己去发现”，因为发现使理解最为深刻，学生容易把握事物间的本质特征和内在联系，也能使学生尝到成功的喜悦．

［1］ 郑毓信，梁贯成．认知科学建构主义与数学教育［M］．上海:上海教育出版社，2002．