金融数学专业实变函数教学方法探析

柏萌

（肇庆学院 数学与信息科学学院,广东 肇庆 526061）

2008级金融数学班是肇庆学院数学与信息科学学院设置金融数学专业后招收的首届学生，笔者于2010—2011年下半学期给他们讲授实变函数这门专业课.在授课及与学生座谈的过程中，笔者发现如下几个问题：1)多数金融数学专业的学生对自身定位不甚清楚，一些学生不喜欢学习数学知识，对比较复杂深奥的理论课有抵触情绪；此外，由于学生数学分析的功底较为薄弱，因而对要用到许多数学分析知识的实变函数课的学习热情不高.2)大多数实变函数的教材偏难且偏重于基础知识，所需的学时多，但其中缺乏与金融数学所需的概率和测度知识的联系，不适合金融数学专业的学生学习.3)从作业和考试情况看，部分学生解题能力欠缺.

金融数学专业学生的后续课程有概率论和随机分析.从发展角度来看，不论将来就业还是继续攻读研究生，实变函数都是一门重要的基础课，学生要从这门课中学到对自己专业发展有用的知识.目前的许多实变函数教材割裂了实变函数与概率论及随机分析的联系.许多学生也对学习这门课的意义及重要性认识不足，认为要花费很多时间和精力学习如此难学的课程不值得，有的学生甚至干脆放弃了这门课的学习.此外，作为一般性本科院校，我校的生源质量一般，学生数学分析的功底也相对薄弱.例如：在讲授Lebesgue积分时，要比较Riemann积分与Lebesgue积分的关系，但许多学生头脑中已经对Riemann积分没有概念.在平时学习过程中，不少学生无法按时完成作业，且许多作业存在惊人的雷同现象.考试时，学生则只会做平时课上讲过的题目，对稍有变化的题目缺乏举一反三的能力.

针对上述问题，笔者进行了一些研究和反思，并通过实践总结出几点教学经验和体会.

1 应该加强实变函数与概率论及随机分析的联系

实变函数与概率论、随机分析这2门课的联系非常紧密，对于金融数学专业的学生而言更是如此，绝不能将实变函数与概率论及随机分析割裂开来，要将他们作为一个统一的整体来对待.现代概率论是前苏联数学家Kolmogorov在20世纪30年代基于测度理论的基础重新建立的，要理解概率公理化体系，就必须要理解一般空间上的抽象测度，所以在讲解Lebesgue测度知识的同时要引入抽象测度.虽然理解抽象测度的定义需要用到代数中环的概念，但是由于学生此时也在学习抽象代数课程，因此他们理解起来并非很困难.另外，概率论和随机分析中的许多概念，从实变函数的角度能理解更深层次的含义.例如：概率中的随机事件对应测度中的可测子集；随机变量对应可测函数；数学期望对应可测函数对测度的积分；对于离散型随机变量和连续型随机变量的理解，也都可以统一在可测函数这一概念之下[1－4].教师在讲述实变函数课中上述概念的时候，可以适当列举一些概率论和随机分析中的例子.

2 教学内容应当生动形象

实变函数课程的内容比较抽象和枯燥，笔者在教学中努力采用生动有趣的语言与便于理解的例子，力求生动形象、由浅入深，能吸引学生的注意力.在讲授实变函数第1章中最重要的概念“基数”时，笔者首先讲了一个原始人计数的故事：在人类文明的早期阶段，原始人不会数数，自己家有1只羊，就在树上画1道线，于是树上的线条数与他家羊的数目就对应了.现在有很多东西我们无法计数，如无穷多个自然数，还有连续不断的实数；但我们可以向原始人学习，找一些集合来与其对应，这就是“基数”的概念.学生听过这个故事后，对“基数”这个概念印象就比较深刻.比如：在证明“已知A＝｛a1,a2,…,an,…｝是可数集，B＝｛b｝是单元素集，且A∩B＝Ø，求证A∪B～A”这道习题时，需要构造如下映射φ:A∪B→A,这个映射的构造是实变函数中重要的解题思想，但是对于刚入门的学生来说，理解起来相对比较困难.为了便于学生理解，笔者采用了Hilbert的生动例子：有个旅馆共有可数无穷个客房，每个客房能且只能住1位旅客.现在这个Hilbert旅馆已经满员了，但是又来了1位旅客，旅馆老板想到一个解决办法.设原来的房客为a1,a2,…,an,…，新来的客人为b，安排如下：b住1号房，a1住2号房，a2住3号房，…，an住n＋1号房，于是大家就都能住下了[5].在比较Lebesgue积分与Riemann积分的优越性时，笔者选取了Lebesgue曾用过的店员数法郎的例子[6]5.用Riemann积分的方法数钱是将所有的钱加起来；而用Lebesgue积分数钱时，则需将钱按面值分类：所有1元面值钱的集合为E1，则1元面值钱的个数为mes(E1)；所有2元面值钱的集合为E2，则2元面值钱的个数为mes(E2)；所有5元面值钱的集合为E5，则5元面值钱的个数为mes(E5)；…总金额则为1×mes(E1)＋2×mes(E2)＋5×mes(E5)＋….当钱的数目较少时，采用这2种方法的差别不大；但是当这些“和”的总数为无穷时，这2种方法的区别就显现出来.笔者还例举了[0,1]上的Dirichlet函数在Riemann积分意义下不可积，而其在Lebesgue积分意义下则可积.通过列举这些实例，学生对学习实变函数的兴趣和信心都得到了强化，感觉这门课的内容与现实生活贴近，不再觉得其抽象、枯燥和乏味.

3 正确处理定理及其证明

实变函数中的定理特别多，表述抽象且证明烦琐冗长，教师必须从学生的实际情况出发，正确处理定理的讲授与诠释.对于一些不太重要而证明过难的定理，教师不必按部就班地讲解定理及其证明，只选用经典实例帮助学生理解即可.例如：讲解“基数无最大”这个定理及其证明时，可以引用“理发师的悖论”代替定理的抽象证明过程[7].对于比较重要的定理，要让学生深刻理解其所述内容；掌握定理中每个条件的意义和作用，其中哪些条件不可或缺，哪些条件是可以替换的；定理是否可逆，逆命题是什么，若不可逆的话，能否举出相应的反例.例如：在讲授Egorov定理时，教师应举例说明“集合测度小于无穷”这个条件不能缺少，还要举例说明其结论不能进行如下修改：存在可测集E0⊂E，满足μ(E＼E0)＝0，使得在E0上fn(x)一致收敛到f(x)[8].在讲解Lusin定理时，可将Lusin定理的逆定理作为课后作业布置给学生思考.教师在讲述定理证明时，重在讲解清楚证明思路，最好是将定理的证明过程分解为一个个小目标.在讲述Egorov定理的证明时，可以将证明过程分成2个目标：第1步，找到集合A，使得函数列fn(x)在集合A上一致收敛于f(x)；第2步，描述集合A，使得E＼A的测度很小[6]66.在实变函数课的教学中，教师还要特别注意定理的联系和区别，对定理进行分类，方便学生掌握.例如：在讲完Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理后，比较这3个定理的条件和结论，这样有利于学生理解和掌握定理.

4 精心设计习题课

学生感到实变函数课难学的一个重要原因是习题难度大，大部分为需要抽象思维的证明题.如果学生不能顺利解答作业习题，长此下去会产生严重的心理负担，滋生厌学情绪，不利于他们对实变函数知识与概念的巩固复习；因此，教师精选习题并上好习题课，对于学生掌握解决实变函数问题的典型方法、分解难点及增强学习信心十分必要[9].教师在选择习题时要注意题量和难度适中，选择的题目要符合“双基”原则，即选择运用基本方法解决基本知识点的问题.教师讲解习题的过程中要注意调动学生的主观能动性，多采用启发式和提问式教学，争取让学生勤动脑、多动手，锻炼和培养学生的思维能力，增加他们解完习题后的成就感.教师还要注意总结解题过程中所用到的知识点和解题技巧，及时点拨学生；此外，教师还要注意在学生解题过程中锻炼其严谨的数学思维，培养学生使用准确、严格的数学语言描述数学问题.总之，通过习题讲解，教师既要帮助学生巩固所学知识，又要培养他们多方面的数学技能，全面提升其学习能力.

[1] 杨明歌.刍议实变函数课的“承上启下”的作用[J].重庆电子工程职业学院学报，2009，18（3）:102-105.

[2] 周性伟.讲授实变函数课的点滴体会[J].高等理科教育，2000(1):42-45.

[3] 赵秀云.改革实函“测度论”一章的设想[J].数学教育学报，1996(3):60-61.

[4] 金淑良.改革“测度论”教学的实验情况[J].齐齐哈尔师范学院学报，1989(1):55-57.

[5] 陈泽安.怎样使“实变函数”教学生动形象[J].益阳师专学报，1991(2):78-79.

[6] 邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7] 师建国，赵中.优化实变函数教学的类比、建构主义思想浅析[J].天中学刊，2010，25（2）:78-79.

[8] 宋叔尼，张国伟，王晓敏，等.实变函数与泛函分析[M].北京：科学出版社，2007:36.

[9] 徐西安.改进实变函数教学的一些方法[J].山东教育学院学报，2006，21（4）:103-105.