读懂教材之意 体悟理念之真——记“数列”第一课时教学的心路历程

● (天水市第一中学 甘肃天水 741000)

读懂教材之意体悟理念之真——记“数列”第一课时教学的心路历程

●宫前长(天水市第一中学 甘肃天水 741000)

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.高中数学课程标准实验教科书人教A版《数学》(必修5)的第2章“数列”，只要认真读懂教材内容，就能抓住编者的编排意图，体悟“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点，加强数学知识内容之间的相互联系，强化学生的数学探究活动，自然地形成突出数学思想方法的教学.高效教学就是在研读教材中形成的.

1 集体备课，提出问题

“数列的概念与简单表示法”是“数列”的第一课时，数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.新课标要求保证基本训练和必要练习来掌握数列中各量之间的基本关系，同时要控制难度及复杂程度.因此，“数列”第一课时的教学在新课标理念的指导下，如何进行准确定位、把握就显得尤为重要.

2 初步备课，理清编排

2.1 读懂章头图

章头图中的图形刻画与文字说明非常生动：“有人说，大自然是懂数学的.不知你注意过没有，树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列都遵循了某种数学规律.”章头图的刻画更加生动地展现了大自然中具有数学规律的图形，接着采用文字说明来揭示大自然图形的这种规律与数列之间的关系.读完奇妙图形，令人赏心悦目.难怪哲学家黑格尔说：“美只能在形象中出现”.形象美不只是体现在文学和艺术中，更体现在数学之中.

在教学时，教师给学生展示部分章头图的实物，增强学生对大自然的热爱.如章头图中的向日葵，其花盘上的种子是螺旋排列的.这种排列有时是21个顺时针，有时是34个逆时针,有时是34个顺时针，有时是55个逆时针.这样的一些数字就组成了一个数列，即为1，2,3,5,8,13,21,34,55,89，…,发现每一个数是前面的2个数之和,这就是著名的裴波那契数列.

向日葵的种子数目为什么这样排列？科学家苦思几个世纪，直到1992年，法国数学家才给出令人满意的解释.

2.2 梳理教材思路

备课组在讨论“数列”概念的教学设计时，提出是否需要重视章头图的问题.对于这个问题，必须从读懂教材的编排思路及所贯彻的新课程理念，才能更好地做到从教材思路到教学思路的过渡，也能体现新课程要求，否则，新课程的实施便“形同虚设”.“数列”章头图在新教材中的有意编排，是专家为了让学生对数列问题有一个更深刻的认识和理解，可谓是匠心独运.在教学时，这个问题不能忽视，应该给予重视.编排的微妙变化，让我们更好地体悟到数学的精妙之处.

教材用2个课时完成“数列的概念与简单表示法”的教学.教材的安排是：加强对数列概念的直观感知，通过对种子、花瓣、果鳞数目的统计实例引出问题；再从三角形数、正方形数等实例入手，引出数列的概念，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数；然后又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数.通过数列的列表、图像、通项公式等几种简单表示法，进一步体会数列是一种函数，是刻画离散过程的一种重要数学模型.

教材的编排和呈现方式，让学生体会到数列是一种特殊的函数，从而加深对函数概念和性质的理解，让学生对数列的本质有清晰地认识和把握.同时学生通过数列概念的引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用，提高对本章内容的学习兴趣，为学习等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式做铺垫.

2.3 确定教学重点

笔者认真研究了新课标，也认真地对必修5模块中的内容编排进行了思考，揣摩了新课程教材在内容上分层次设计进行编排的特点.“数列”第一课时在教学中如何定位，是以数列概念的形成和求数列的通项公式为重？还是以求数列的通项公式与递推公式为重？其中理解数列的函数特性是必要的，在教学时应如何进行安排，才能收获更多.

不论是以概念的形成和求数列的通项公式为重，还是以求数列的通项公式与递推公式为重，都涉及数列的概念形成，只是侧重点不同而已.前者注重从章头图中通过分析、观察，引入数列，加深了数列中隐含的“函数”意义，自然引出求通项公式；后者注重通过观察数列，发现、归纳出数列的通项公式及递推公式.因此，如何对待通项公式是本节课的关键.

集体备课时，教师对这部分内容的处理意见不统一：一部分教师维护大纲教材，强调通项公式和递推公式，提出需要强化训练，强化理解，没有必要花力气在数列的形成上，直接给出数列就行了；另一部分教师提出新教材中对数列的编排方式体现了新课程的理念，是经过课改实验区的经验进行多次修订的，没有必要提前对递推公式进行训练，否则会增加学生的学习负担.

查阅北师大版《数学》(必修5)“数列”内容，教材安排了2个课时(数列的概念与数列的函数特性),强调重视章头语内容的教学,即从数学史上的一个真实故事出发，引出数列的内容.又将数列的函数特性专门列为一个小节，目的是让学生深刻理解“数列是一种特殊函数”.

通过对2种版本教材的对比，人教A版《数学》(必修5)“数列”第一课时的重点应放在“概念的形成和求数列的通项公式”以及“理解数列是一种特殊函数”的层面.这样做，既体现了“螺旋式上升”的思想，也符合学生“循序渐进”的认知规律.

3 对比研究,把握整体

笔者查阅了教师参考用书，书中表明用2个课时完成“数列的概念与简单表示法”的教学.基于前面的分析，再加上2个课时的时间分配，该如何把握本节课的教学？备课组通过对比新教材与大纲教材的编排，寻求解决问题的办法.

3.1 对比教学目标的变化

《大纲》教学目标理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.

《课标》教学目标通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)；了解数列是一种特殊函数．

两者对比新课标要求通过日常生活中的实例，了解数列的概念.虽然对“数列是一种特殊函数”的要求是处于了解层次，但确定了基准，也恰好体现了新课程的理念,充分让学生体会“数列是一种特殊函数”.从某种意义上更加突出强调了数列本身是一个数学研究对象，又是刻画实际问题的重要模型.

因此，对数列第一课时的教学目标确定为：通过日常生活中实例的观察，写出一列数；了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像)；体会数列是一种特殊的函数．

3.2 在教材中的分布情况

教师对教材的结构体系以及内容编排应有整体的把握，要明白新课程理念在教材中的凸显之处.在教学时，教师要认真钻研教材，深刻领会教材的编排意图及课标理念，要依据知识的螺旋上升安排而循序渐进，以“螺旋上升”、“分步到位”的教学原则，适应学生的思维发展水平，促进学生能力的发展.

课标中的数列内容是分层、分段设计的，在人教A版《数学》(必修5)“数列”中，主要通过对一般数列的研究，转入对等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究，数列的应用在人教A版《数学》(选修4-3)的“数列与分差”中.

明确数列的阶段性要求和终结性要求，才能整体把握数列的课标要求.通过重视数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用，提高学生对本章内容的学习兴趣，为转入对等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究，也为后续学习“数列与分差”做好铺垫.

等差数列、等比数列的学习需要“数列”的概念来做铺垫.在“数列”概念的教学中，让学生体会数列离散性的根源是自然数的离散性.在教学时,除了强调从日常生活中的实际问题分析建立数列模型，还要集中力量探究“数列是一种特殊函数”这个重点目标，让学生在经历中体会、在生成中思维.将“数列”分散在必修与选修课程凸现了教材的编写,与人们的认知规律达到和谐、统一地“螺旋式上升”理念是一致的.

3.3 在认知、能力上的要求

从知识的认知情境看，设置了问题的情境，注重从生活实践、数学研究,再到数学教育，从直观感知到抽象理解再到数学教育的方式引导学生学习数列；从知识的量化看，数列概念的学习在人教A版《数学》(必修5)中没有作为重点，只是注重概念的形成，但强调从日常生活中的实例引入，足以说明章头图的重要性.师生通过对大量实物的观察更好地了解数列，真正体会和了解“数列是一种特殊函数”.

从能力的立意与提升看，教材凸现了观察、分析、探索、转化、归纳能力，体现了特殊到一般、一般到特殊、数形结合、算法与方程思想.数列的学习让学生开阔了视野，拓展了思维，提升了能力.

课前认真学习新课标和新教材之后，结合集体备课的智慧及研究的对策，并对《数学》(必修5)与《数学》(选修4-3)进行整体分析、把握，才能做到“用教材”教.

3.4 确定教学预设线路图

(1)创设情境,感受概念：给出3种情境(生活、科学、数学)，感受“数”有“顺序”；并要求概括特征：“数”有“顺序”.

(2)数学建构，形成概念：经历3种情境，启发引导学生把握情境所揭示的数学本质特征；给出数列的概念；学习求通项公式的方法：画出数列图像—猜想数列是函数—验证猜想—形成并求得通项公式.

(3)数学运用，巩固概念:由通项求前几项、列表、画图像；判断某项是否是数列的项；例、习题处理：观察归纳数列的通项公式(重点).

(4)回顾反思，深化概念：学生总结学到什么，有哪些收获？然后布置作业.

4 教学片断回放

师：大家看教材第34页B组第一题：下图中的3个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项.请写出这个数列的前5项和数列的通项公式(通过实例引入数列概念时，举例较多，学生对此题的认识和解答很好).

生甲：(学生自己积极举手)老师，观察前3个图形，容易得到它们的正方形数目分别是1,9,73.

师：你是如何快速算出第3个图形中正方形的总数的？

生甲：我是将第3个图形提出分层，提升位置成立体图，变成金字塔状进行计算的：将其中最大的一个正方形拔到高处属于第1层(塔顶)；再将周围较大的8个正方形拔到较高位置属于第2层；再将周围较大的每个正方形周围的最小的8个正方形拔到更高位置属于第3层(塔底).这样就可以得到a3=1+8+82=73.

师：学生甲的思路和方法太精妙了！那么第4个、第5个图形中的正方形数是多少？

生甲：a4=1+8+82+83；a5=1+8+82+83+84.

教室里顿时响起掌声！接着学生甲高兴地总结出数列的通项公式是

an=1+8+82+83+…+8n-1.

师：学生甲的想法很好，能将二维平面图形“升维”至三维空间图形观察，思维敏捷，奇思异想，以后大家要向学生甲学习.

(教师点评刚结束，学生乙举手.)

生乙：我观察学生甲归纳出的通项公式，有新的发现，第3个图形中的正方形总数可以改写为a3=82+8+1=111(8)=73,从而依次就有

a4=83+82+8+1(个)=1 111(8)；

a5=84+83+82+8+1(个)=11 111(8)，

这样做就能依据学生甲归纳出的通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来，即an=111…11(8)，其中有n个“1”.

师：多么简洁、简单的表示，这正是数学追求的形式美.学生乙很细心，将前面学过的算法记得很清楚，又能灵活应用，可喜可贺！ 本节课，大家对数列概念的形成和通项公式的归纳学得很好，尤其是学生甲、乙，他们对习题第34页B组第1题的通项公式有独到见解，非常精彩.以后大家多交流、多合作，一定会有新的发现、新的收获！

课后，笔者对本节课中学生精彩的想法、完美的认识和简单大气的表示进行了思考：新教材是专家精心打造的精品，其中数与形的完美结合，在学生观察思考后，产生出精妙的思想火花，再细细品读教材中的习题，每一道都有或多或少的亮点在闪烁，深深地感到数学的无穷魅力与精彩.

5 教学后的反思

教师从读懂教材起步，做到让自己的教学设计能更好地体现新课程的目标要求.通过实施教学，不断消除对教材目标把握的误差，进一步感悟教材中隐藏的课标理念，逐步达到高效教学.

5.1 读懂教材,把握目标

新课程数学学科分为必修与选修，内容编排有“螺旋上升”的特点，模块间既有知识的顺序结构，又有独立成块的特色.这就要求教师首先读懂教材(包含教材的各种图形)，即理清教材的编排思路及编写意图，更要读懂教学内容的编排意图和知识在必修与选修中的处理策略，领会教材的整体设计意图.研读教材的过程，就是感悟理念，消除对教材目标把握的误差的过程.

教材是解读课标的范本，也是贯彻课标的一个测量标准.数列在课标教材中分成2个部分：“数列”(必修5)和“数列与分差”(选修4-3)，体现了分阶段、分层次、多角度的知识网络和“螺旋式上升”的认知规律.

5.2 研读课标,定位目标

课程标准就是“纲”，对数学教学活动提出的目标要求.课标提出：“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.”

在“数列”概念的形成过程中，蕴含着观察、分析、探索、转化、类比、归纳等能力，体现了从特殊到一般、一般到特殊的重要数学思想方法.课标是教学的基本依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课标的精神，领悟新课改的理念，准确理解课标对具体教学内容的要求.总之，教学必须以课标为“纲”，用心琢磨，梳理轻重，真实地贯彻新课改的精神和课标的理念.

5.3 研究概念,凸显核心

探究数学概念的生成是教师教学首先要思考的问题.数学核心概念是学生对数学思想方法领悟的前提，也是体验数学探究、数学创造的入手之处，更是教师进行有效教学的最佳题材.

“数列”教学中的的核心概念就是“数列”，从而在教学设计中，“数列是一类特殊的函数”即数列的项是函数值、序号是自变量，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点.

本章内容的设计，突出了数列的函数背景，在通过实际问题引入数列概念后，教材对其函数背景进行了分析，指出通项公式实际可看作是数列的函数解析式.接着对等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式进行研究，也是类比函数展开的：首先，它们是特殊数列，也是特殊函数，等差数列实际是一次型函数，是最简单的递推数列，等比数列实际是指数型函数；其次，它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同.

5.4 研究习题,提高效率

教材中探究题、练习题的素材很多来源于古代或现实的生活情境：一方面加强了与实际生活的联系；另一方面可以提高学生学习本章内容的兴趣.在教学中，教师要注意相关内容的知识准备、问题解答和拓广的准备.

如教材第34页B组第1题,教学参考书中介绍用递推公式得通项公式，而学生甲提出分层立体观图法，学生乙根据通项公式的结构特征，借助进位制的思想将通项公式具体地表示出来.多么简洁的表示，这正是数学要追求的形式美.

详尽挖掘新课标教材的编排特征，从读懂教材起步，加强对教材的钻研，领会课标理念，力争用“用教材”教学，对部分教学内容重新优化，从而增强学生自主学习的积极性，学生由学会学习到自觉学习，提高课堂教学效率，也就彻底贯彻了新课标的理念.通过集体备课，集思广益，深化对教学内容的理解，有利于准确地把握和定位教学目标.

[1] 宫前长.挖掘隐性条件 凸现简捷解法[J].中国数学教育：高中版，2009(11)：36-38.