油酸薄膜面积计算的一种新方法

魏明逊

(昆明第三中学 云南 昆明 650011)

1 问题提出

【例题】在“用油膜法估测分子大小”实验中所用的油酸酒精溶液的浓度为1 000 mL溶液中有纯油酸0.6 mL，用注射器测得1 mL上述溶液为80滴，把1滴该溶液滴入盛水的浅盘内，让油膜在水面上尽可能散开，测得油酸薄膜的轮廓形状和尺寸如图1所示，图中正方形方格的边长为1 cm，试求：

(1)油酸膜的面积是________cm2；

(2)实验测出油酸分子的直径是________m；(结果保留两位有效数字)

(3)实验中为什么要让油膜尽可能散开.

图1

答案：(1)113～115都对;

(2)6.5×10-10～6.6×10-10都对;

(3)这样做的目的是为了让油膜在水平面上形成单分子油膜.

解析：(1)求油膜面积时，先数出“整”方格的个数，对剩余小方格，不足半个的舍去，多于半个的等于一个，数一下共有113～115个.

一个小方格的面积S0=L2=1 cm2，所以面积

S=(113～115)×1 cm2=(113～115) cm2

(2)一滴纯油酸的体积

可得油酸分子直径

上面的实验,学生在处理结果时最大的困难是无法较为准确地得到小方格的数量，特别是对不足半个的舍去，多于半个的等于一个不好把握.因此,下面我们提出通过数点子的方法来求解面积[1].

2 数点子求面积

我们经常需要测量土地、房屋、园林、湖泊、荒岛等不规则形状的面积，迫切需要各种简便方法估算面积的近似值．

常用的方格纸上画着纵横两组平行线，相邻两线间的距离相等，两组直线的交点就称为格点.

如果一个多边形的顶点全是格点，这种多边形就叫格点多边形.

图2

图3

其实，该式对于凸、凹多边形的情形也适用，可以参阅美国数学家查尔斯·特里格(Charle.Trigg)的有关著作.有了这个关系式，就可以尽快地算出如图3中不规则图形的面积S了.

通过数点的办法，不难看出边界上的格点数为L=14，内部的格点数为N=42，所以

3 应用求解

我们把例题中的图1进行标注，最后变为如图4所示.由图4可得

N=110L=8

代入单位可得S=113 cm2

图4

这种方法的好处是，看图比较清晰，计数准确，有点就计，不存在忽略的问题，方便使用.世间万物，形状不规则的居多，所以，这个关系式的用处很大.

参考文献

1 谈祥柏.数学不了情.北京：科学出版社，2010