对教材“宇宙航行”的几点释疑及对改编的建议

闫峰

(徐州市第一中学 江苏 徐州 221006)

1 问题的提出

为了降低学生的学习难度，在人教版高中物理教材“万有引力和航天”中采用的是理想化的圆形轨道，即“绕行天体围绕中心天体做匀速圆周运动；中心天体对绕行天体的万有引力提供了向心力”．这种理想模型在高中阶段确实能够解决很多问题，但是这种“前摄抑制”却使学生在学习“宇宙航行”时普遍产生了以下困惑.

(1)从教材的推导来看，第一宇宙速度v1“应该”是近地卫星的绕行速度，但是在给出第二和第三宇宙速度v2和v3的概念时，教材又提到了“发射”的概念，那么三种宇宙速度究竟指的是什么速度？

(2)教材中的插图(图1)给出了宇宙速度与运行轨道的对应关系，为什么会是这样？

图1

(3)如果宇宙速度确为发射速度的话，三种宇宙速度应该如何推导？

(4)人造卫星实际是如何发射的？

2 三种宇宙速度

大学教材中对三种宇宙速度的定义为：从地球表面上发射一颗人造地球卫星所需要的最小速度叫第一宇宙速度；从地球表面发射物体使之脱离地球引力不再回来，或者绕着太阳运转成为一个人造行星的最小速度叫第二宇宙速度；从地球表面发射物体使之能脱离太阳系，飞到其他星系上去的最小速度叫第三宇宙速度．可见，三种宇宙速度指的是“从地球表面发射物体，并使之满足不同运动要求的最小发射速度”．大学教材对第二和第三宇宙速度的定义和高中教材相似，那么对于第一宇宙速度该如何理解呢？教材中的推导如下.

设地球的质量为M，绕地球做匀速圆周运动的飞行器的质量为m，飞行器的速度为v，它到地心的距离为r．飞行器运动所需的向心力是由万有引力提供的,所以

由此解出

近地卫星在距地面100～200 km的高度飞行，与地球半径6 400 km相比，完全可以说是在“地面附近”飞行，可以用地球半径R代替卫星到地心的距离r．把数据代入上式后算出

这就是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度．

正是上面的推导过程使学生误以为第一宇宙速度“应该”是近地卫星的绕行速度．实际上，学生出现上述误解的原因是没有结合教材的上下文进行思考，片面地只注意了推导过程而没有注意教材中对牛顿思考过程的描述：“牛顿在思考万有引力定律时就曾想过，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星(图2)”．如果在教学过程中强调这段话的物理意义，那么问题就变得相对简单.在山顶水平抛出物体，物体刚好绕地运动，那么抛出时的速度与物体在轨道上运行的速度当然就是相等的，求出轨道上的速度就可以知道抛出时的速度v1(当然这只是教学中的设计)；同时还为 “第一宇宙速度不但是最小的发射速度，还是最大的绕行速度” 的理解打下伏笔．

图2

3 轨道的形状

如图3所示，选中心天体的球心为极点O建立极坐标系，只考虑中心天体M和绕行天体m的相互作用，无穷远处势能为零，并设m相对O点的位矢大小为r，m的速度为v(在垂直位矢方向的分量为vθ，在平行位矢方向的分量为vr)，系统的总能量为E，m对O点的动量矩为j．

由机械能守恒

由动量矩守恒

mrvθ=j(j为常量)

其中

由上面三式消去vr和vθ，得

可知

(1)若E<0，则e<1 轨道为椭圆(其中e=0时，轨道为圆).

(2)若E=0，则e=1 轨道为抛物线.

(3)若E>0，则e>1 轨道为双曲线.

4 三种宇宙速度的近似推导

推导前两种宇宙速度时选地球为参考系，只考虑地球与发射物体之间的相互作用，无穷远处势能为零，并设地球质量为M，地球半径为R，地面发射物的质量为m，发射速度为v，系统的总能量为E．

4.1 第一宇宙速度

对于椭圆轨道有

其中a为椭圆轨道的半长轴，由机械能守恒

得

4.2 第二宇宙速度

由机械能守恒

得

因为此时的E=0，所以此时的轨道应该是抛物线，这也解释了教材中为何将v2对应的轨道区别于椭圆的原因．

4.3 第三宇宙速度

得

由于地球绕太阳公转的速度约为30 km/s，因此，如果发射时的速度方向和地球在公转轨道上运行的速度方向一致，那么只要相对于地球的速度为v相=42-30 km/s=12 km/s即可．

(2)考虑从地球表面发射的物体同时还要克服地球的引力，则v3近似可由下式计算

得

5 人造卫星的发射

发射人造地球卫星的运载火箭一般为三级，其发射后的飞行过程大致分为3个阶段：垂直起飞、转弯飞行和进入轨道．发射卫星时首先将火箭垂直向上发射，待火箭穿出稠密的大气层后第一级火箭脱离；然后第二级火箭点火加速(方向不变)直至脱离，火箭继续升高，在地面控制站的操纵下火箭逐渐转弯至飞行方向与地面平行；当火箭到达与预定轨道相切的位置时，第三级火箭点火，火箭继续加速到卫星在预定轨道上运行所需的速度而进入轨道，随即火箭与卫星脱离．同步卫星的发射大概也是分为三个阶段：首先卫星在前两级火箭的推动下进入一个高度较低的圆形轨道作短暂停泊(停泊轨道)；然后卫星在第三级火箭的推动下进入一个椭圆形的轨道(转移轨道)；最后卫星进入同步轨道(图4)．

图4

6 对教材改编的建议

由于“宇宙航行”中有太多在高中阶段无法准确解释的内容，所以在实际教学过程中，本小节给学生留下了太多的疑问，使学生陷入了“实际情况”与“理想模型”的争辩，直接影响了教学效果．如何才能使教材更有效？笔者谈谈自己的粗浅看法.

(1)为了体现“情感态度和价值观”“过程和方法”的新课程理念，不妨将本节的教学重点放到第一宇宙速度的研究过程上去，将牛顿思考、研究的主要过程加入教材中，牛顿早期利用“勾股定理”推导宇宙速度的方法和利用“拱形桥”推导的方法也可以放入教材正文中去．

(2)第二、第三宇宙速度的概念、大小以及教材的第二张插图不妨放入教材正文后的“科学漫步”板块中，同“黑洞”一起作为拓展材料，卫星的实际发射过程也可以一同编入．

(3)从本节“宇宙速度”和“梦想成真”两个板块所涉及的内容，以及本节与本章前面4个小节的联系来看，小节的标题“宇宙航行”改为“人造卫星”似乎更为恰当．

参考文献

1 人民教育出版社物理室．全日制普通高中课程标准实验教科书 物理·必修2．北京：人民教育出版社，2010

2 人民教育出版社物理室．全日制普通高中课程标准实验教科书 物理·必修2教师教学用书．北京：人民教育出版社，2010

3 周衍柏．理论力学教程．北京：高等教育出版社，1986

4 赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程·力学．北京：高等教育出版社，2004