从v-t图例谈数与形结合的意义

沈祖荣

(苏州大学物理科学与技术学院 江苏 苏州 215006;江苏省木渎高级中学 江苏 苏州 215101)

陈钢

(苏州大学物理科学与技术学院 江苏 苏州 215006)

数和形是数学的两个最基本的元素，也是数学的两种基本表达方式.自笛卡儿创立解析几何将代数与几何学联系到一起，数形结合就成为解决物理问题的一种重要方法，从而使物理学进入了定量科学阶段.牛顿和莱布尼兹发明的微分和积分法，解决了“非均匀问题”，赋予图像以微分和积分的新意义.因而，数和形相结合表示物理规律，并运用微分和积分思想解决物理问题，不但是物理学的有力工具，也是物理学的重要认识.中学物理广泛运用图像表示各种物理问题，并用图像法解决各种物理问题，就是上述物理思想的反映.

1 “数形结合”既是一种方法更是一种重要的意识

1.1 物理图像表示的意义

用公式表示物理规律，给出物理量之间的函数关系，便于进行逻辑推导；而用图像表示物理规律，则充分展现物理量之间的逐点变化关系，构成物理量之间直观的形的关系.

新课程人教版教材(2011年版)《必修1》第38页中，在探究匀变速直线运动的位移与时间的关系时，由匀变速直线运动的速度与时间的关系公式v=v0+at，作出如图1所示的v-t图像，展示了用数形结合表示物理规律的基本方法.而图2所示图像表示了对运动的微分分割，即用图像可以直接表示微分.再用图3所示的“面积”说明对于运动的积分结果，即用图像可以直接表示积分.笔者对教材中引入v-t图像的三个图像进行了深入思考，认为编者的用意是以探究匀变速直线运动的位移与时间关系的过程为案例，力求突出高中物理中“数形结合”既是一种方法，更是一种重要的意识；同时强调了利用微分、极限和积分思想是研究物理问题的重要方法.

图1 图2 图3

物理规律往往可表达为简单的物理公式，而物理公式是具有物理意义的函数表达式，每一种函数也可以用对应的图像表示.在许多情况下，物理问题虽然不同，但它们的图像是类同的，因此可以用类比的方法处理.有些物理问题的图像是不同的，应该明确物理规律、函数和图像的对应关系.

1.2 物理图像和物理模型的对应关系

图像是对物理问题的一种表示，而物理问题往往与物理模型相对应.因此,可以通过识读图像构建所对应的物理模型，这也是教学的一个重要方面.

【例1】(2009年高考江苏卷物理第8题)空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图4所示.x轴上B,C两点电场强度在x方向上的分量分别是EBx,ECx.下列说法中正确的有

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x轴正方向

C．电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大

D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功

图4

分析：题中给出φ-x图像的目的是要考生判断本题的电势空间分布为两等量正电荷连线中点为x轴的原点，以其中垂线的一侧为x轴指向的电势分布.

【例2】(2010年高考江苏卷物理第5题)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图5所示．下列说法正确的是

A．O点的电势最低

B．x2点的电势最高

C．x1和-x1两点的电势相等

D．x1和x3两点的电势相等

图5

分析：题中给出的E-x图像，是要考生判断出本题的电场强度空间分布为两等量电荷连线的中点为x轴的原点，以其中垂线的一侧为x轴指向的电场强度的分布.

命题者命制以上两题时，必定首先了解等量同种电荷电势和电场强度的空间分布，然后才设计如图的φ-x，E-x图像.

总之，“数形结合”无论在物理探究过程中还是各类物理考试中都是非常重要的方法.只有将数和形相结合，而且掌握数和形与物理模型对应的关系，解决物理问题才能得心应手.

2 利用微元与极限和累加求图像围成的面积是重要的物理方法

从数学的一般意义来说，用图像表示微分，就是对图像中自变量进行无限小分割；用图像表示积分，就是图线下的面积.但是各种物理问题的自变量各有不同，图线下的面积所表示的物理量也各不相同，所以微分和积分作为一般数学方法应用于物理问题时，必须明确其表示的具体物理意义.

如，由微分式Δxi=viΔt可知，v-t图像的面积是一段时间内的位移；由微分式Δvi=aiΔt可知，a-t图像的面积是一段时间内的速度变化.

【例3】蚂蚁离巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比.当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1 m的A点处时，速度是v1=2 cm/s. 试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2 m的B点所需的时间为多少？

代入数据，得

t=75 s

图6

3 利用图像巧解物理问题

图像提供的信息很多，而且图像中的各种物理量以直观方式呈现，所以解决一些只需定性比较运动过程的问题的最佳方法就是图像法.

【例4】如图7所示，一个固定在水平面上的光滑物块.其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC.已知AB和AC的长度相同.两个小球p,q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑.比较它们到达水平面所用的时间

A.p小球先到 B.q小球先到

C.两小球同时到 D.无法确定

图7 图8

本题的正确答案为选项B.

分析：可以利用v-t图像(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较.如图8，在同一个v-t图像中做出小球p，q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上.为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同)，显然小球q用的时间较少.

总之，教材以探究匀变速直线运动的位移和时间关系为例，通过物理表达式v=v0+at，画出v-t图像.再利用微元、极限和累加的方法求出面积，即为一段时间内的位移，得出位移和时间的关系的物理规律.正是这条明线隐含着更为普遍适用的方法和技能.我们需要研究教材，读懂教材编写者的意图，才能用好教材，真正高效实施新课程背景下的素质教育.