关于一个数学期望命题及其推论的证明

谷伟伟,程 坤

(1.中国矿业大学 理学院,江苏 徐州 221116;2.南京航空航天大学 理学院,江苏 南京 211106)

数学期望是随机变量的数字特征，刻画了随机变量取值的统计平均值，是随机变量的环绕中心，是代表集中性的特征数[1].本文先引入一些预备定义和定理，目的是为了更好地说明其思想方法，进而可以详细地说明待证命题及其推论.

1 预备知识

定义1 对A⊂Ω，考察Ω上的函数

IA(ω)称为集合A的示性函数.

定义2 设ε+表示(Ω,F)上非负阶梯随机变量全体，即

定义1和定义2的详细内容可参考文献[2]和[3].

证明任意固定m，则

Xm∧Yn≜inf{Xm,Yn}∈ε+[3].

又

故{Xm∧Yn,n≥1}单调递增，且

从而由数学期望的单调性可知

定义3[3]设G+为(Ω,F)上非负随机变量全体，则

定义4[3]设B表示(Ω,F)上任意的随机变量，如果EX+与EX-中至少有一个有限，则称EX为准可积的，并定义EX=EX+-EX-.

说明：这个定义和实变函数中的可测函数的积分十分相似，任意的f(x)=f+(x)-f-(x)，其中f+(x)和f-(x)都是非负的.

2 主要结果

命题1 若P(X≠0)=0，则X可积，且EX=0.证明情况1: 设X≥0，记A={ω:X(ω)=0}，则

P(A)=1，P(Ac)=0.

而

0≤X(ω)=X(ω)·IA+X(ω)·IAc=

0·IA+X(ω)·IAc≤∞·IAc≜Y(ω)∈G+.

取

Yn(ω)=n·IAc∈ε+，Yn(ω)关于n递增，

则由上述定理1和定义3可知

故

EX(ω)=0.

情况2:设X为一般随机变量，则X=X+-X-. 由P(X≠0)=0，可推出

P(ω:X+(ω)≠0)=0，P(ω:X-(ω)≠0)=0.

故由情况 1的结论可知，EX+=0，EX-=0. 进而EX(ω)=EX+-EX-=0.下面给出它的推论，并对推论2进行详细证明.

推论1 设X1与X2是两个随机变量，若P({ω:X1≠X2})=0，则X1与X2同时准可积分，且EX1=EX2.

结论可由上述命题直接推出，只要将X1≠X2移项变成X1-X2≠0即可看出.

推论2 设X为任意的一个随机变量，且X准可积，则EX=E[X·IA].

证明由于X准可积，故由定义4，不妨设EX+<+∞，而

0≤(X·IA)+≤X+，

故

E[(X·IA)+]<+∞.

因此，由定义4可知，E[(X·IA)]是有意义的.

由定义1可知

X=X·IA+X·IAc，令Y=X·IAc，而

{ω:Y(ω)≠0}⊂Ac，

故由概率的单调性，可得

0≤P({ω:Y(ω)≠0})≤P(Ac)=0.

所以由上述命题的结论可知

E(Y)=0.

从而

E(X)=E(X·IA)+E(X·IAc)=E(X·IA).

3 小结

在实变函数中，对一个命题的内容而言，在不放弃简洁的前提下，相同的结论，所需的条件越弱越好.而对一个命题的证明方法而言，在不增加繁琐的推导过程前提下，所用到的工具越简单越好[4].本文证明了概率论中一个看似简单的命题，但是用到了实变函数中讨论可测函数的可积性的重要思想，即先讨论示性函数的积分，在此基础上讨论了简单函数(阶梯型可测函数)，然后讨论了简单函数的极限函数的积分，最后用正部和负部的方法构造了一般函数的积分.事实上，实变中的可测函数可看成是概率中的随机变量，积分即可看成期望.另外本文中的结论也有很强的应用价值.在遇到比较复杂的问题时，上述结论可以直接被引用.而且会比用其他方法更为简洁明了.

参考文献：

[1]戴朝寿.概率论简明教程[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]严士健,王隽骧,刘秀芳.概率论基础[M].北京:科学出版社,2009.

[3]汪嘉刚.现代概率论基础[M].上海:复旦大学出版社,2006.

[4]王敏生，姚静蓀《实变函数论》中一个命题的初等证明[J].大学数学,2010,26(6).