运用等效法解

　　中国历史上有“曹冲称象”的故事：年仅六岁的曹冲，借助船舷上刻画的记号，用很多的石头代替大象，产生相同的效果，再一次次地称出石头的重量，求其之和，就间接称出了大象的重量。这种“大小转化”的巧妙思维方法就是一种很好的“等量替换法”。
　　所谓等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法，也是物理学研究的一种重要方法。它是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性，移用某一规律进行分析而得到相等效果。在教学和学习过程中，若能经常将此法渗透到对过程的分析中去，不仅可以使我们对物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识、促使知识、技能和能力的迁移，都会有很大的帮助。
　　下面通过实例介绍四种等效思维方法。
　　一、作用等效思维
　　作用的等效即是用一种简单的作用等效替代几种复杂的作用，从而使问题得到简化。
　　例１：如图1所示，质点的质量为2kg，受到六个大小、方向各不相同的共点力的作用处于平衡状态，今撤去其中的3N和4N的两个互相垂直的力，求质点的加速度？
　　解析：本题中各力的方向都没有明确标定，撤去两个力后合力是什么方向一时难以确定。但从力的作用效果分析，其他（7N、6N、2N、6.2N）四个力的合力Ｆ一定与这两个力（3N、4N）的合力Ｆ平衡，如图2所示，也就是说Ｆ与其他（7N、6N、2N、6.2N）四个力的作用效果相同，而Ｆ与这两个力（3N、4N）的作用效果相同。
　　因此，撤掉3N和4N的两个力，质点受到的合力可以认为只有Ｆ，故a====2.5m/s，方向沿3N和4N两个力的对角线的反方向。
　　例2：如图3所示，一条长为L的细线，上端固定，下端拴一质量为m的带正电小球。将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平。已知当细线偏离竖直方向α（α≤45°）时，小球处于平衡状态。如果将细线偏角从α增大到θ，然后将小球由静止开始释放，则θ角应为多大才能使细线到达竖直位置时，小球的速度刚好为零？
　　解析：本题的原型是重力场中的单摆问题。现在小球不仅受到重力mg的作用，而且受到电场力Eq的作用，若将这两个力合成为一个力——等效重力，就容易判断出小球的平衡位置O点，如图3所示。小球若从A′点释放后，在A与A′之间的来回振动就是在等效重力场中的等幅振动。由单摆的知识可知：小球通过平衡位置O时速度最大，而在两振幅位置A与A′时速度为零。由单摆振动的对称性可知θ=2α。
　　二、过程等效思维
　　过程的等效是指用一种或几种简单的物理过程来替代复杂的物理过程，使物理过程得到简化。
　　例3：如图4所示，空间存在水平向右的匀强电场E，直角坐标系的y轴为竖直方向，在坐标原点O有一带正电量q的质点，初速度大小为v，方向跟x轴成45°，所受电场力大小质点的重力相等。设质点质量为m，运动一段时间后它将到达x轴上的P点。求质点到达P点时的速度大小和方向。
　　解析：质点在重力和电场力的共同作用下作曲线运动。根据其受力特点，可将质点的曲线运动等效分解为竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀加速直线运动。
　　在竖直方向有：v=v/2
　　t=2v/g=v/g
　　v=v=v/2
　　而在水平方向：a=Eq/m=g
　　v=v+at=（v/2）+v=3v/2
　　所以：v==v
　　v与x轴正方向的夹角为θ，则有：
　　tanθ=v/v=1/3
　　所以：θ=arctan1/3
　　例4：边长为a的正方形导线框放在按空间均匀分布的磁场内静止不动，磁场的磁感应强度B的方向与导线框平面垂直，B的大小随时间按正弦规律变化，如图5(1)所示。则导线框内感应电动势的最大值为多少？
　　解析：本题的常规思路是利用法拉第电磁感应定律E感=△Φ／△t，写出Φ的瞬时表达式，再把Φ对时间t进行求导。但在高中阶段的教学中，并未涉及这方面的知识，因此不少同学看到此题后感觉无从下手。我们写出磁通量Φ的瞬时表达式：Φ=BS=Basin(2πt/T)，可以发现，这种磁通量Φ的变化过程与线圈在磁场中饶垂直于磁场的轴匀速转动时磁通量Φ的变化过程相同，因此可以把本题所涉及的变化过程等效为：一个面积为a的正方形线框在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以角速度ω=2π/T作匀速转动，线圈中将产生交流电，则感应电动势的最大值为：Em=BSω=Ba×2π/T=2πBa/T。
　　三、模型等效思维
　　模型的等效是指用简单的、易于研究的物理模型代替复杂的物理客体，使问题简单化。
　　例5：如图6所示电路，R为定值电阻，R为可变电阻，E为电源电动势，r为电源内阻。则当R的阻值为多少时，R消耗的功率最大？
　　解析：电源内阻恒定不变时，电源的输出功率随外电阻的变化不是单调的，存在极值：当外电阻等于内阻时，电源的输出功率最大。在讨论R的功率时，由于R不是整个外阻，因此不能直接套用上述结论。但如果把电源与R的串联等效成一个新电源，R就是这个等效电源的外电阻，而等效电源的内阻为R+r，如图7。很显然，当R的阻值等于等效电源的内阻R+r时，R消耗的功率即等效电源的输出功率将达到最大。
　　例6：如图8（1）所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直于线圈平面。当线圈中通入如图8（2）所示的方向的电流时，判断导电线圈如何运动。
　　解析：本题中研究的是磁体对环形电流的作用，我们可以利用安培定则把环形电流等效为一个小磁针，如图8（2），从而把本题转换为我们所熟知的磁极与磁极之间的作用。由磁极间作用规律可推知，线圈将向磁铁靠近。
　　四、测量等效思维
　　测量等效思维，是指对物体或物质的某些物理量和特性的测量，通过“等量替换”、“组合替代”的方法进行等效测量。
　　在《力的测量》中根据平衡的条件，利用等效的观点，将我们要测量的力等效为弹簧中的弹力，将物体受到的重力等效为处于平衡状态的物体受到的支持面的支持力或悬挂物的拉力。
　　在《验证动量守恒定律》实验中等效的运用更是达到了极致。由于小球作从相同的高度开始做平抛运动，因此其在空中的飞行时间相同。取飞行时间为单位时间，可以用水平射程来表示水平方向的速度，也就是水平速度由水平射程等效替代。