谈谈数学解题能力的培养

　　在数学教学中，学生各种能力最终要通过解题来具体体现，因此学生的解题能力的培养在教学中应占有重要地位，我就如何培养学生的解题能力，谈谈自己的看法。
　　一、培养学生养成认真审题的习惯
　　审题是解题的基础，学生解题出错误，或解题感到困难，往往是由于不认真审题或不善于审题造成的。
　　1.明确题意。审题就是要明确题意，搞清命题的语法结构。例如，求不等式:x2-4x+3<0的正整数解的个数。此题是求解的个数，而并非求解。
　　在审题时要弄清关联词语的意义。如：“不大于”“不小于”“增加”“增加到”。遇到几何的文字证明题时，把题设和结论分清，写成“如果…那么…”的形式。
　　2.挖掘隐含条件。所谓隐含条件是指题目中给出但不明显，或没有给出但隐含在题意中的那些条件。对于前者需要将不明显的条件转化为明显的条件；对于后者则需要根据题设，挖掘隐含在题意中的条件。从某种意义上来说，养成审题的习惯，提高审题能力，重要的是先提高学生挖掘隐含条件、化未知为己知的能力。如：提到从圆外一点引圆的两条切线，应首先想到切线长定理，并且它的图形中包括很多隐含条件：弧相等、圆心角相等、三角形全等、三角形相似。这些都是应在审题时联想到的。
　　又如：已知方程：x+2（m-2）x+m+4=0有两个实根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。不少同学由韦达定理，设方程的两根为x、x，列式解得：m=17，m=-1。然而，这是错误的，因为解题中忽视了隐含条件——m的取值范围。即△=4（m-2）-4（m+4）≥0，即m≤0，这样m只能取-1。
　　二、注意总结解题的方法和要点
　　在学习了一定的内容之后，引导学生归纳总结解决某类问题的方法和要点，这对于提高解题能力大有益处。
　　例如：在解两圆相切问题时，常过切点作两圆的公切线；在解决两圆相交问题时，常连结公共弦或作连心线；解高次方程的思想是降次；解分式方程的思想是化成整式方程；解无理方程的思想是化成有理方程。
　　三、注意一题多解与一题多变
　　所谓一题多解，就是同一个题目，考虑使用多种不同的解法。强调一题多解，有利于培养学生综合运用数学知识的能力。例如某些几何问题可用代数法、三角法、解析法来解等。
　　所谓一题多变，就是指同一个题目适当变换，变化为多个与原题内容不同，但解法相同或相近的题目，这有利于扩大学生的视野，深化知识，举一反三，触类旁通，从而提高解题能力。如：
　　已知：AE是△ABC外接圆的直径，AD⊥BC于D，
　　求证：AB·AC=AD·AE
　　（变式一）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，
　　求证：AB·AC=AD·2AO
　　（变式二）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圆，R为⊙O的半径，AD⊥BC于D，
　　求证：AB·AC=AD·2R
　　（变式三）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圆，OE是⊙O的半径，AD⊥BC于D，
　　求证：AB·AC=AD·2OE
　　（变式四）：
　　已知：⊙O是△ABC的外接圆，MN为⊙O的直径，AD⊥BC于D，求证：AB·AC=AD·MN
　　（变式五）：
　　已知：△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，E、F两点在⊙O上，且弧EF=60°，求证：AB·AC=AD·2EF
　　这些题的原型是课本例题，单独看是六道题，整体看是由一个题目演变而来的，考查的是同一知识点。
　　四、注意命题的推广与联想
　　命题的推广就是把命题的条件一般化，从而推出更为普遍的结论。命题的联想，就是在解完题后，再改变命题的条件和结论，从纵横两方面加以引申、拓广，从而获得新的结论。通过命题的推广与联想，我们不只是学会一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。如果能长期坚持，可培养学生深入钻研习题的习惯，激发我们在数学上的创新精神，这无疑对提高解题能力和创造力是十分有益的。
　　例如：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、及圆和圆的位置关系，分数与分式，因数与因式分解，全等与相似，方程与不等式等可以进行类比联想。
　　又如：可以把相似三角形的性质推广到相似多边形的性质等。
　　五、解题过程中，注意渗透数学思想
　　数学中常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
　　转化思想可以把复杂问题简单化，抽象问题具体化。如：运用换元法解方程；把高次方程转化为低次方程；把分式方程化成整式方程；利用消元法把二元一次方程组化为一元一次方程，都是利用了转化思想。
　　数形结合思想是指在解几何题时，通过未知与已知的关系建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知数的数值，达到求线段长的目的。“数”有抽象概括的特点，“形”有具体形象的特点，运用数形结合，互相补充，常能收到事半功倍的效果。
　　数学思想是解题的灵魂，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。在教学时，适时渗透，可以避免就题论题，死套模式，使我们在解题时，加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析问题的能力，从而使思维能力和解题能力都有所提高。