矩阵方程AXB=C的初等变换法

　　摘 要： 本文通过讨论求解矩阵方程AX=B和XA=B的初等变换法，得到了求解矩阵方程AXB=C的初等变换法。
　　关键词： 矩阵方程AXB=C 初等变换 求解
　　
　　1．引言
　　假设已知矩阵A和B可逆，对于矩阵方程AXB=C，我们一般都是先求出矩阵A和B的逆矩阵A和B，然后根据矩阵的乘法运算，求出矩阵方程的解X=ACB。
　　2．主要结果
　　本文讨论了利用矩阵的初等变换直接求解矩阵方程AXB=C。
　　首先引入下列引理：
　　引理1［1］：对于一个矩阵施行一次行或列初等变换，相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个相应的初等矩阵。
　　引理2［3］：任意一个n阶可逆矩阵A经过若干次矩阵的初等变换可以化为E。
　　由文献［２］可以知道，假设n阶矩阵A可逆，要求矩阵的A逆矩阵A，可以采用下列方法：
　　将矩阵A和E放在一起，得到一个n×2n阶矩阵(A，E)，再对其施行矩阵的初等行变换，如果把子块A化为E，则子块E就化为了A。即
　　（A，E） （E，A）。
　　同样的也可以利用矩阵的初等列变换求A。这时对2n×n矩阵施以初等列变换，如果把上半子块A化为E，则下半子块E就化为了A。即
　　AE EA。
　　由上面求矩阵的逆的方法可以得到求解矩阵方程AX=B和YC=D（其中A和C可逆，且AX=B的解为X=AB，CY=D的解为Y=DC）的初等变换法。
　　（A，B） （E，AB）。
　　CDEY。
　　将上面两式结合就得到本文的主要结果：
　　定理假设矩阵方程AXB=C中的矩阵A和B均可逆，则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到：
　　0 BA C0BE AC 0EEX。
　　证明：综合上面矩阵方程AX=B和XA=B的解法即得。
　　3．数值实例
　　通过下面的实例来说明文中结论的有效性。
　　例：求解矩阵方程AXB=C，其中
　　参考文献：
　　［１］张禾瑞等.高等代数.北京：高等教育出版社，1999.
　　［2］刘艳杰，谢延波等.线性代数.沈阳：东北大学出版社，2004，8.
　　［3］钱椿林.线性代数（第二版）.北京：电子工业出版社，2001.