特殊等比数列的趣味性快速求和解法

　　摘 要： 本文通过研究一类特殊等比数列的趣味性快速求和，归纳给出了这类特殊等比数列的趣味求和解法。这种趣味解法可以让学生们领会特殊等比数列的快速求和方法，同时也让学生领悟到数学的美。
　　关键词： 等比数列 快速求和 解法
　　
　　1.引言
　　如何在高度紧张的考场环境中提高解题速度和解题准确率是处于高考复习阶段的莘莘学子共同关心的问题。那么，到底如何在考场环境中提高解题速度和解题准确率呢？这除了取决于考生临场发挥和自信心外，更重要的在于考生平时对解题技巧的归纳和掌握程度。下面我就平时数学教学过程中自己的一点关于数列趣味性计算技巧总结如下，供同学们和同行借鉴参考，也希望借此帮助学生在感受数学美的同时舒缓紧张的神经。
　　等比数列求解
　　++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（1）
　　++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（2）
　　++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（3）
　　……?摇?摇?摇?摇?摇?摇……
　　++…+?摇?摇（n=0，1，2，…）?摇?摇（k-1）
　　按照课本上学习的等比数列求解公式：
　　S=（a：首项；q：公比；n：项数）
　　该公式看似简单，但随着首项的逐渐增大，其计算难度也逐渐增大，同时也影响了解题的速度与准确率。在教学过程中，我发现该类型的等比数列有两种快速且带趣味性的求解方法。
　　2.趣味图解法
　　（1）假定把圆的面积当作1，则式（1）可以理解为：
　　从图中可以看出，各式分别单位圆减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
　　1-?摇?摇?摇?摇1-?摇?摇?摇?摇1-?摇?摇?摇?摇1-
　　由此可得该数列的总和为：
　　++…+=1-
　　即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
　　（2）同理，假定把圆的面积当作1，则式（2）可以理解为：
　　+?摇?摇?摇++?摇?摇?摇+++?摇?摇?摇 ++++
　　从图中可以看出，各式分别以虚线处减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
　　-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-
　　由此可得该数列的总和为：
　　++…+=-
　　即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
　　（3）同理，假定把圆的面积当作1，则式（2）可以理解为：
　　 +?摇?摇?摇++?摇?摇?摇+++?摇?摇?摇++++
　　
　　从图中可以看出，各式分别以虚线处减去带圈的数字部分（该部分的数值等于数列的最后一项），即：
　　-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-?摇?摇?摇?摇-
　　由此可得该数列的总和为：
　　++…+=-
　　即总和等于首项（a）的2倍减去末项（a）。
　　3.逆向求解法
　　由于该类型的数列公比是，因此数列当中后一项的2倍等于前一项。因此，如果数列本身再加上其末项，该数列即可转化为：
　　（1）如果k=2时，数列=-
　　（2）如果k=3时，数列=-
　　（3）如果k=4时，数列=-
　　计算结果与上述图解法相等，即此方法亦可行。
　　4.数列极限
　　从该数列的上述图解法和逆向求解法可知，
　　即该数列极限等于首项的2倍。
　　5.结语
　　从图解法和逆向求解法可知，这类等比数列总和等于首项的2倍减去末项；数列极限则等于首项的2倍。若能记住这个重要的结论，对于高考这种高强度的考试来说，无疑可以节省时间，同时提高解题速度和解题的准确率。相比于传统的等比数列公式求解法，本文的图解法和逆向求解法更能体现出数学美。