对边疆预科学生极限概念教学的探讨

　　摘 要： 作者通过分析极限教学，使用“ε-N”“ε-δ”、“ε-M”语言来阐述如何运用数学语言来进行教学，并且在分析高等数学中极限概念的教学难点的基础上，给出了克服教学难点的教学方法。
　　关键词: 边疆预科学生 极限概念教学 教学难点
　　
　　数列、函数极限的概念是高等数学中最基本、最重要的概念之一.导数、微分、不定积分等基本概念都建立在这一概念的基础上.函数极限的概念是学习高等数学首先遇到的较难理解的概念，正确理解、掌握函数极限的一系列概念是学好高等数学的关键.新疆、西藏籍学生，受母语影响较大，因此对极限概念的理解难度也较大.认真研究、深入探讨函数极限概念的教学良策是确保高等数学教学质量的前提.本文在分析教学难点的基础上，从引导学生正确理解函数极限定义入手，给出突破难点的一些教学方法.
　　1.数列极限概念的教学难点
　　（1）给出一批有极限的数列，考察这些具体的数列的变化趋势，分析归纳出它们的共同本质——通项无限接近某个常数A（尽管方式不同），再给出一些没有极限的发散数列，它们不具有上述特性，即不能与任一实数无限接近，从中得出用普通语言叙述的收敛概念:给定数列{u}，如果当n充分大时，u无限接近某个常数A，则称A为数列{u}的极限，称{u}为收敛数列，否则，称{u}为发散数列.
　　（2）启发学生考虑如何用数学语言精确地描述“充分大”，“接近”，“无限接近”等变化过程，尤其是“无限接近”这一动态变化的数学描述，可充分利用数轴、绝对值，距离等工具，在此基础上提出用“ε-N极限”语方来精确描述极限过程和收敛概念:对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在一个正整数N，当n＞N时，恒有|u-A|＜ε，则常数A叫做数列{u}当n趋向于无穷时的极限.或说数列收敛于A.记作：u=A，或u→A（n→∞）.此时，称数列{u}为收敛数列，否则称{u}为发散数列.
　　在这一阶段中，主要是通过记忆和模仿以代偿思维能力的不足，达到对极限概念的初步认识.
　　2.函数极限概念的教学难点
　　（1）基本概念.
　　定义1：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＞M时，有|f（x）-A|＜ε，
　　则常数A为函数f（x）当x→+∞的极限.记作：f（x）=A.
　　定义2：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＜-M时，有|f（x）-A|＜ε，
　　则常数A为函数f（x）当x→-∞的极限.记作：f（x）=A.
　　定义3：如果对于?坌ε＞0，总总?埚N＞0，当|x|＞N时，有|f（x）-A|＜ε，
　　则常数A为函数f（x）当x→∞的极限.记作：f（x）=A.
　　定义4：函数f（x）在x点附近（但可能除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当x→x的极限，
　　记作：f（x）=A.
　　定义5：函数f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜x-x＜δ时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当x→x的右极限，
　　记作：f（x）=A或f（x+0）=A（当x→x）或f（x）→A（当x→x）.
　　定义6：函数f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉点x本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当-δ＜x-x＜0时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当x→x的左极限，
　　记作：f（x）=A或f（x-0）=A（当x→x）或f（x）→A（当x→x）.
　　f（x）=A的几何意义如下:
　　对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在x的一个δ邻域（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
　　f（x）=A的几何意义如下：
　　对于?坌ε＞0，作两条直线y=A，y=A+ε，总存在x的一个δ邻域（x，x+δ）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
　　f（x）=A的几何意义如下:
　　对于?坌ε＞0，作两条直线y=A-ε，y=A，总存在x的一个δ邻域（x-δ，x）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
　　f（x）=A的几何意义如下：
　　对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在一个区间［-M，M］，在此区间内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
　　（2）在极限概念教学过程中，应把握从具体到一般原则.
　　极限定义难以理解、掌握的原因在于:定义中涉及“任意”、“给定”、“无限接近”、“存在”、“趋向”等比较抽象的术语.定义的叙述繁长、文字符号很多，如ε、δ、M等，且它们之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握.对ε的作用和任意性、给定性，以及ε和N、M、δ间的依赖性，学生不易搞清，对“ε-δ”、“ε-M”极限语言容易混淆.
　　抽象性思维能力是分析问题和解决问题能力中最重要的部分，是数学本身“高度抽象性与应用广泛性”辩证统一的必然结果.抽象思维能力的培养是发展创造性思维的前提.由具体到抽象是人们认识事物比较普遍的思维过程，而具体如何飞跃到抽象呢?一般步骤是，提出问题，诱发思考，让学生逐步领会把实际问题抽象为数学问题的思路和方法，引导学生把问题的特征、本质抽象出来，加以综合概括.
　　3.克服教学难点的方法
　　为了克服以上教学难点，我们可从以下几点入手.
　　（1）正确运用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三种语言.对于这三种语言，有的同学提出什么时候应用哪种语言搞不清，其实搞明白以下两个问题，这个难点就会迎刃而解.
　　①“ε-N”语言用于数列极限，求解过程是对于任意给定的ε，通过不等式|μn-A|＜ε找到正整数N;而“ε-X”或“ε-δ”适用于函数极限，对于任意给定的ε＞0，通过不等式|f（x）-A|＜ε找到正数δ或X.
　　②“ε-X”和“ε-δ”语言的区别在于自变量x的变化趋势不同.前者适用于x→∞时的函数极限情形，后者适用于x→x时的函数极限情形.
　　（2）讲清极限定义中“ε”的任意性、给定性及其对N、X、δ的依赖性，从而刻画ε的作用，在极限定义中有“如果对于任意给定的正数ε”这一句话，很多学生不理解，为什么ε是任意的而同时又是给定的呢?因为只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻画出函数f（x）与常数A无限接近的意思;而ε又是给定的，如果ε不是给定的就无法确定δ（或N或X）的存在性.其实，给定一个ε就存在一个δ（或N或X），它们是对应的关系.δ（或N或X）是依赖ε而存在的，它们之间具有依赖性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正数，即定义中的“无论ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正数.
　　注重直观教学、启发式教学、渐进式教学及实践教学有机结合的方式.如我们在高等数学中讲授新内容时，一定要用直观，易懂的实例进行解释说明.每一个概念和结论，再从一个概念或结论得到启发，引导学生思考更广而深入的问题，从而对数学概念和结论有深刻的理解（我们称这种教学为抓点）；讲授新内容之前回忆复习上节的主要内容，课堂结束前，总结该节的内容，并预示下一节的内容；一段内容结束（如一章内容）之后，整体上再总结归纳这一大段中的主要内容，突出重点，加强影响，将前后内容连贯起来.这种往复式（循序渐进式）的有效总结和归纳对学生培养良好学习习惯是非常重要的（我们称这一过程为提串），这一过程应贯穿教学整个过程.理论总结的同时针对每一个概念、结论和针对作业中存在的问题，做大量的具体题目的讲解，及时解决问题和给予提醒.再加强学生的作业质量，要求学生独立，足量完成.这部分工作主要在习题课上和作业中完成.一些主要概念和方法可以通过做实验的方式进行：整个高等数学课结束之后，再进行一次总复习，这部分主要用课堂教学，完成综合性比较好的数学实验题目的结合进行（这两部分是实践教学）.这样学生不仅能巩固已学过的高等数学内容，提高高等数学水平，还能锻炼科学思维方式，提高用数学和计算机解决实际问题的能力，养成良好的学习方法等，进行有益的实践锻炼。教学经验显示，以上谈到的逐步、多层次重叠式（循序渐进式）教学和学习（我们称抓点提串循序渐进再实践的学习方法），对增强预科高等数学教学效果有很好的作用，成效显著.
　　总之，函数极限概念是所有学习高等数学的学生接触的第一个最基本的概念，也是高等数学中一个较难理解的概念.在极限概念的教学过程中，应注意由直观到抽象，由特殊到一般，由旧引新，进而有效地分散难点，以便突破难点.
　　
　　参考文献：
　　［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.
　　［2］李英.浅析数学教育中应培养的数学概念［J］.数学通报，1988，（1）.
　　［3］同济大学数学教研室.高等数学［M］.高等教育出版社，2003，264-278.
　　
　　本文为湖南省教改项目“少数民族本科预科课程教学定位的研究与实践”（湘教通〔2009〕321号）的成果。