含参数的一元二次不等式的解法

　　摘 要： 本文用确定边界的方法，以数轴形式辅助学生解决含参数的一元二次不等式，将难问题简单化处理.
　　关键词： 含参数不等式 数轴 定界
　　
　　含参数不等式的解决涉及方程的观点及分类讨论的思想，长期以来一直是高考的一大热点.而大多数不等式通常可以转化为一元二次不等式.一般地，一元二次不等式的解集常与以下因素有关：（1）二次项系数的正负；（2）判别式的符号;（3）两根的大小比较.其中二次项系数直接影响解集最后的形式，判别式的符号关系不等式对应的方程是否有解，而两根的大小关系到解集最后的形式.怎样把以上几点运用到解题中呢？这里给大家介绍一种用数轴辅助解题的方法.
　　例1.解不等式（ax-2a）（x+1）＞0
　　分析：这里的二次项系数与a有关，不等式可整理成a（x-2）（x+1）＞0，当a≠0时，两根已明确为-1，2，因此无须讨论另两个因素.
　　解：不等式整理可得a（x-2）（x+1）＞0.
　　这里参数与二次项系数的关系可用以下图表示：
　　当a＞0时，（x-2）（x+1）＞0，解集为{x|x＜-1或x＞2};
　　当a=0时，解集为?覫;
　　当a＜0时，（x-2）（x+1）＜0，解集为{x|-1＜x＜2};
　　例2.解不等式x-2（a+1）x+1＜0
　　分析：此式二次项系数为1，再求Δ试试.
　　这里Δ=4a+8a无法确定正负，故需讨论它，当Δ＞0时，
　　x==（a+1）+
　　x==（a+1）-
　　x＞x关系明确.
　　解：Δ=4a+8a（易求得Δ＞0时，a＜-2或a＞0）
　　将a与Δ关系作图如下：
　　当-2≤a≤0时，Δ≤0，解集为?覫;
　　当a＜-2或a＞0时，Δ＞0，此时两根分别为x=（a+1）+，x=（a+1）-，x＞x.
　　故不等式的解集为{x|a+1-＜x＜a+1+}.
　　例3.解不等式56x-ax-a＞0
　　分析：此式二次项系数也不必讨论，56x-ax-a=56（x-）（x+），因此不等式重点落在讨论两根大小上.若＞-?圯a＞0，故两根大小以0为分界.
　　解：不等式可整理为（x-）（x+）＞0，
　　则方程（x-）（x+）=0的两根为x=，x=-.
　　其关系用数轴表示如下：
　　当a＜0时，＜-，不等式的解集为x|x＜或x＞-;
　　当a=0时，原不等式为56x＞0，不等式的解集为{x|x≠0};
　　当a＞0时，＞-，不等式的解集为x|x＜-或x＞.
　　例4.解不等式ax-（a+1）x+1＜0
　　分析：首先二次项系数含有参数，于是我们得讨论二次项系数的分界为0.当a≠0时，对应方程两根为，1.
　　-1=＞0?圯0＜a＜1，故0＜a＜1时＞1.
　　于是我们找到a的两个分界点0，1.
　　解:用数轴表示如下：
　　对着上图解题如下：
　　当a＜0时，整理得（x-）（x-1）＞0，＜1，故不等式解集为x|x＜或x＞1;
　　当a=0时，整理得-x+1＜0，解集为{x|x＞1};
　　当0＜a＜1时，整理得（x-）（x-1）＞0，＞1，故不等式解集为x|1＜x＜;
　　当a=1时，整理得x-2x+1，解集为?覫;
　　当a＞1时，整理得（x-）（x-1）＜0，＜1，故不等式解集为x|＜x＜1.
　　相信通过上题同学们应该看清处理这种题目的思路与思想方法，先找出由三个因素决定的讨论分界点，在数轴上标出来，而分类讨论也就按这些分界点分类，每一种情况的解决再从头开始，注意分界点的讨论不要掉，最后通过图像写出解集，就不会出错。那么再复杂一点的题，我们也可用此法解决.
　　例5.解不等式ax-2x+1＞0
　　分析：此题首先由a的正负决定二次项系数，再进一步由Δ=4-4a＞0得a＜1，而两根
　　x==，x==，x-x=＞0，得0＜a＜1.
　　故这里找到两个分界点为0与1.
　　解：用数轴表示如下：
　　当a＜0时，x-x+＜0，Δ＞0两根＞，
　　故不等式的解集为x|＜x＜;
　　当a=0时，-2x+1＞0，解集为x|x＜;
　　当0＜a＜1时，x-x+＞0，Δ＞0，两根＜，
　　故不等式的解集为x|＜x＜;
　　当a=1时，x-2x+1＞0，Δ=0，解集为{x|x≠1};
　　当a＞1时，x-x+＞0，Δ=0，解集为R.
　　在这样的关于参数的数轴表上，多层因素分类讨论的关系一览无余.相信对于同学们处理此问题一定会大有帮助.