离散数学的实例化概念教学法

　　摘要：针对离散数学教学中理论与应用结合困难的现状，为增强学生对抽象理论及具体应用的理解，提出“用实例增强概念理解”的教学方法。在讲解新概念之前先介绍其应用背景，以具体例子阐述其理论细节，通过选择合适的例子，比较前后概念，引导学生建立完整的知识网络。
　　关键词：离散数学；概念；实例；教学方法
　　
　　离散数学(Discrete Mathematics)，又称为离散数学结构(Discrete Mathematical Structures)，是现代数学的重要分支，整个计算机学科的专业基础课[1-2]，同时也是信息类专业的重要专业课程。离散数学属于专业数学的范畴，研究离散量的结构和相互间的关系， 充分描述了计算机科学离散性的特点。计算机求解的基本模式是：实际问题 Þ 数学建模 Þ 算法设计 Þ 编程实现。离散数学识培养学生运用离散结构作为问题的抽象模型，进而构造算法，解决问题。
　　1课程特点与教学难点
　　离散数学的课程内容高度抽象，并且强调证明问题。它的大多数应用来自于计算机科学，学习该课程的学生超过半数来自计算机专业。课程的特点决定了离散数学是一门既讲究基础理论，又注重实际应用的学科。课程特点如下，同时也是教学的难点[3-7]。
　　1) 内容抽象，概念众多。
　　离散数学使用数学化的表达方式，理论性强，逻辑严密。对于学生而言，从习惯其表达方式到熟练运用要经历一个较长的过程。离散数学理论表达的基础是大量严密的概念，对概念的理解程度决定了对课程内容的理解程度。大量抽象的概念也是学生学习的主要困难。往往在授课过程中，学生反映对以前的概念不理解，对新学的知识难以接受。学生感觉离散数学越学越难，理论在不断加深。因此要重视对概念的教学。
　　2) 在后续课程中应用多。
　　离散数学是计算机学科的专业基础课，所以教学安排在大学低年级，大部分高校从二年级开始离散数学的教学。虽然离散数学在很多后续专业课中有广泛应用，但是在学习离散数学的时候，大部分专业课尚未开课，所以部分学生对离散数学的应用认识不足，学习兴趣不高。因此在离散数学的教学，要特别强调其实际应用性，对抽象的知识要通过实例来具体化，让学生真正看到离散数学在计算机科学中的具体应用。
　　针对离散数学的基础概念众多而且抽象的特点，为了解决学生因为概念掌握不深入和缺乏实际应用带来的学习困难，我们特别侧重概念教学和应用引入，提出了以实例增强概念理解的教学方法。
　　2实例化概念教学方法
　　离散数学的教学目的是提高学生对实际问题的数学本质的表达能力，增强解决实际问题的综合能力。为了克服教学中理论和实际应用结合的困难，既要注重对理论进行细致分析，又要注重引入实际应用。在教学中，如果教师能够对基础概念做重点讲解，使得学生具备建模的基本能力，并通过实例进行强化，那么就能有效地提高教学效果。为了达到上述目标，我们着重对概念的教学进行挖掘，提出了“用实例增强概念理解”的教学方法。该教学法的主要出发点是让学生了解理论如何应用，提高学习兴趣。通过具体实例让基本概念立体化和实用化，强化具体理论细节，通过前后概念的比较形成知识的网络化。
　　2.1介绍应用背景，提高学生兴趣
　　在我们对学生的问卷调查中发现，学生对离散数学学习兴趣不高的原因之一是对实际应用背景不够明确。没有相关实际背景的概念仅意味着数学符号，印象不够深刻。针对这个问题，我们认为孤立引入概念的教学形式，不能提高学生的兴趣，不利于理论知识和实际应用的结合。在引入新概念的时候，应该首先介绍其应用背景，让学生对将要学习的知识有直观的认识。
　　图论是结合实际应用最多的一部分内容，课本中对相关内容的实际应用背景介绍比较丰富。例如哥尼斯堡七桥问题引出了图论的起源，通过漫游问题引出欧拉图和汉密尔顿图，通过地图着色直接介绍着色问题等。因此学生能从课本上了解图论的一些实际应用。在图论的教学中，在介绍完相关概念后，多引入实际问题，引导学生利用图论的知识进行建模，锻炼抽取实际问题的数学实质的能力。
　　又如，函数是离散数学中集合论的内容。虽然高等数学中也学习过函数，但是离散数学中介绍的函数更加抽象，覆盖面更广。由于这个特点，大部分学生感觉其理论性强，对函数应用的理解不够深入。实际上，函数在计算机科学中非常重要而且应用十分广泛，在课堂教学中应该向学生介绍这部分内容。例如，假设计算机需要存储查询大量的数据，则要确定每个数据的位置。通常，我们建立从存储表到数据编码的散列函数，用到最多的就是模n函数。散列函数在密码学中也被经常使用，如产生数字指纹和其他一些电子资源来验证消息的真实性等。在教学中，通过一些实例建立学生对抽象内容的理解，提高学生的学习兴趣。
　　2.2讲解新概念，注重老概念
　　虽然各个概念在教科书中独立出现，但其内容彼此关联。如果在教学中单独讲解新概念，而没有建立新概念与已学知识的联系，那么对学生而言，这些知识点就是一些孤立的片断，无法深入理解其内容。所以在讲解新概念的时候，要加强与已学概念的比较，让学生建立理论体系的完整印象。
　　例如，“等价”这个概念在数理逻辑和集合论中都出现过，两者本质相同，而定义的方法不一样，教材中没有把这两者联系起来讲解，大部分学生将其视为完全不同的概念。在讲课的过程中，我们通过前后概念的比较和联系，可以对“等价”进行更深入的分析。
　　数理逻辑研究两个命题公式的等价。“给定两个命题公式 A 和 B，设P1，P2，…， Pn为所有出现于 A 和 B 中的命题变元，若对于P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称 A和B等价，记作 AÛB。”集合论中考虑等价关系。“设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。