全概率公式和Bayes公式的推广及其应用

　　摘要：为了使全概率公式和Bayes公式能适用于无穷不可列种情况，本文将这两个公式推广到积分形式，并举例说明其应用。
　　关键词：全概率公式；Bayes公式；积分
　　
　　全概率公式和Bayes公式都是概率论中的基本公式，并且有非常广泛的应用。但其形式决定了这两个公式的使用条件是样本空间被分划为有限的一组事件，下面进一步讨论其推广形式及其应用范围，以便更好地利用这些基本公式。
　　一、全概率公式
　　对于一些较为复杂的概率问题，直接计算其概率可能很困难，往往可以将它们分解为一些较为简单的情况来计算，全概率公式就是解决这类问题的一个工具。
　　定理（全概率公式） 设A1，A2，L，An是对样本空间Ω的一个分划，则对任何B∈F，有P(B)=P(AK)P(B|AK)。
　　此公式借助另外的事件组将一个事件分解为若干个简单的事件，但只能分解为有限个事件。如果取n→∞，也可以得到将一个事件分解为可列个事件的全概率公式。但有时却需要将事件分解为不可列种情况，这是就要用到全概率公式的积分形式：
　　定理（全概率公式的积分形式） 设连续随机变量η的概率密度为f(x)，如果函数P(A|η=x)和f(x)在R上均有界且至多有限个间断点，则有
　　P(A)=f(x)gP(A|η=x)dx
　　证明：因为函数P(A|η=x)和f(x)在R上均有界且至多有有限个间断点，故f(x)gP(A|η=x)dx存在(a，b∈R)，又因为f(x)gP(A|η=x)≤f(x)且f(x)dx收敛，故f(x)gP(A|η=x)dx也收敛，同理f(x)gP(A|η=x)dx也收敛。考虑数列cn=fKgP(A|a+k△x-△x＜η＜a+k△x)g△x，其中△x=，fK=，则由全概率公式可得{cn}为常数数列且cn=P(Ag(a＜η＜b))，则=P(Ag(a＜η＜b))，即f(x)gP(A|η=x)dx=PAg(a＜η＜b)，上式两边同时取极限则结论得证。
　　该形式用于将一个事件分解为不可列种小事件，不可列种情况在实际应用中一般表现为某量取到了某值，下面是一个例子：
　　布丰设计出一个抛针实验：在一张足够大的纸上画满平行线，相邻平行线间距为l。将一根长度为l的针任意地抛到纸上，求针与直线相交的概率。
　　容易发现任意抛出的针在纸上的方向（即与直线的夹角θ）是均匀分布的，且对于任一θ，针在垂直于直线方向上的投影长度为h=ιsinθ，针与直线相交的概率为h/ι=sinθ。则所求概率为P=dθ=。重复此实验可以近似地求出圆周率。
　　也可以这样考虑：h的分布函数为F(x)=，概率密度为f(x)=。而对任一h=x，针与直线相交的概率为，则所求概率为P=gdx=。
　　这虽然是两种不同的思路，但都应用了推广的全概率公式。
　　二、Bayes公式
　　定理（Bayes公式） 设A1，A2，L，An是对样本空间Ω的一个分划，则对任何B∈F，有P(AK/B)=，k=1，2，L，n
　　同样地，我们可以把Bayes公式推广到不可列个事件。
　　定理（Bayes公式的积分形式） 设连续随机变量η的概率密度为f(x)，事件A发生的情况下η的概率密度为fA(x)，则有fA(x)=
　　证明：fA(x)gP(A)=P(Ag(-∞＜η＜x))=f(x)gP(A|η=x)dx，其中的积分收敛性证明与上文中的类似，不再赘述。两边对x求导再将P(A)=f(x)gP(A|η=x)dx代入，则原式得证。
　　这个公式可用来求特定条件下某随机变量的概率密度，例如，
　　某物种的年龄分布的概率密度为f(t)=，其中0＜t＜20，患某病的概率与年龄有关，为P(A\=x)=，则患病个体的年龄分布概率密度为fA(x)==
　　可以看出，推广的全概率公式和Bayes公式有更广泛的应用，尤其适用于解决连续型随机变量的有关问题。
　　
　　参考文献：
　　[1]周圣武.概率论与数理统计[M].北京:煤炭工业出版社，2004.
　　[2]何书元.概率论[M].北京:北京大学出版社，2006.
　　（中国矿业大学孙越崎学院）
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”