借助波利亚“怎样解题表”助学生走出解题探究困境

　　摘要：数学家乔治·波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题． 他认为，解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程． 师生在实际解题过程中，难免会遇到挫折，陷入解题“困境”． 那么如何排除解题中遇到的思维障碍，走出解题探究困境，成功解题呢？我们在长期的教学实践中感觉到，利用波利亚的“怎样解题表”，可以有效帮助学生走出解题探究的困境，提高探究能力．
　　关键词：解题；解题表；探究；解题困境
　　
　　数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题． 他认为，解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程．波利亚一生致力于解题思维过程的研究，最终他集数十年的教学与科研经验写成《怎样解题》一书，其核心是一张“怎样解题表”，它包括4个步骤：弄清问题；拟定计划；实施计划；回顾．
　　事实上，从教育心理学角度看，“怎样解题表”也的确是十分可取的，教师利用这张表可对学生进行有效的指导，发展学生独立思考的数学思维品质和进行创造性活动的能力． 然而，师生在实际解题过程中，难免会陷入“困境”．那么如何排除解题中遇到的思维障碍，走出解题困境呢？我们在长期的教学实践中感觉到，利用波利亚的“怎样解题表”，可以有效帮助学生走出解题探究的困境，提高探究能力．
　　
　　■弄清问题阶段：诱发念头，探究解题思路
　　解决数学问题，学生往往苦于没有思路． 波利亚曾说：“弄清问题是为好念头的出现做准备”，这里的“弄清问题”就是认识问题，并对问题进行表征的过程，它是成功解决问题的一个必要前提． 研究发现，在解题过程中教师直接传授给学生的思路，他们往往容易忘掉，在碰到具体问题后仍是不知所措． 因此我们必须让学生学会自己弄清问题，探究解题思路．
　　例１ ?摇已知椭圆C：■+■=1和直线l：y=4x+m，试确定实数m的取值范围，使对于直线l，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．
　　在传统解题教学模式下，教师往往是先分析思路，再板书解题过程，学生往往容易养成思维惰性． 我们在此阶段变教为诱，以诱启思，诱导学生主动探究．
　　启发学生思考：
　　（1）已知椭圆和直线方程，能否画出它们的图形？（可以）
　　（2）未知是什么？?摇图象上两点及其坐标均没有给出，可以设出来吗？一定要设出来吗？（可以设P（x1，y1），Q（x2，y2），但未必一定要设出坐标来才能够解题）
　　（3）题目要求干什么？解决它的关键是什么？
　　（求直线方程中参数m的取值范围，即建立含m的不等式）
　　（4）有哪些条件可供使用？可否数学化？
　　（①P，Q在椭圆上；②P，Q的中点既在直线PQ上又在直线l上；③PQ⊥l）
　　思路1：利用判别式和韦达定理
　　设所求的取值范围为M，依两点关于直线对称的定义，可知m∈M，等价于有y=－■+n（n∈R，是待定常数），使得这直线与椭圆C有两个不同的交点P，Q，且线段PQ的中点落在直线y=4x+m上．
　　由方程组■+■=1，①y=－■+n，②?摇②代入①，得13x2－8nx+16n2－48=0．?摇 ③
　　方程③的两根为x1，x2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）是不同的两点，x1≠x1，故方程③的判别式（8n）2－4×13（16n2－48）>0， ④
　　解得－■　　由方程③，根据韦达定理，得x1+x2=■，从而y1+y2=－■（x1+x2）+2n=■，?摇故有■■=4■■?摇+m，
　　所以n=－■m，代入④，得－■　　思路2：利用基本不等式
　　解题中引导学生利用基本不等式，因为x1≠x2，所以x■+x■>■成立． 运用已知即可得关于m的不等式．
　　思路3：利用直线参数方程
　　设出经过PQ中点的直线（参数为t）的方程，代入椭圆方程，得到关于参变量t的二次方程，由P，Q两点在其中点两侧且对称，故t1+t2=0且t1t2<0，由此得到关于m的不等式．
　　反思：本题还有多种解法，每建立一个关于m的不等式都得到一种解法．
　　
　　■拟定计划阶段：优化思路，探究最佳途径
　　波利亚说“回到定义去”“你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？”由此可见数学基本概念、基础知识和基本技能是解题思路的源泉，离开它们，解题就成了无本之木，无源之水． 审题之后要回顾题目中涉及哪些主要概念，这些概念是如何定义的，在题目的条件和结论里，与哪些定理、公式、法则有关，可否直接应用，题目所涉及的基本技能、方法是什么等等． 经过这样一番深入思考之后，解题途径将会逐步明朗，解题计划也就随之形成．
　　例2 过抛物线y2=4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P，Q，求线段PQ中点的轨迹方程．
　　教师教学中启发学生分析：因过焦点的直线在过定点的直线系中除对称轴外均与抛物线交于两点，则这些线段均有中点，由中点坐标公式，再用坐标代换法，可求出轨迹方程．
　　解：设直线PQ的中点为M（x，y），因为F（1，0），设直线为y=k（x－1）（k存在），得y=k（x－1），y2=4x，消去x，得ky2－4y－4k=0． 由y1+y2=■及中点坐标公式知2y=y1+y2，所以y=■，即k=■，代入y=k（x－1）中，得y2=2x－2为所求的轨迹方程（当PQ方程为x=1时，弦的中点为（1，0），符合这个方程）．
　　反思：此解法学生较易想到，符合其思维特点，在化简时通过消去变量“x”求解，但若消去“y”，则计算量便显著增大． 能不能优化上述解题思路呢？
　　优化思路１：逆向思维
　　变换视角，设直线PQ的中点为M（x，y），P（x′，y′），则Q（2x－x′，2y－y′）．
　　因为P，Q两点在抛物线上，所以有y′2=4x′，（2y－y′）2=4（2x－x′），
　　两式相减得y2－yy′=2x－2x′．
　　因为焦点F（1，0）在该曲线上，所以y2=2x－2?摇为所求的轨迹方程．
　　反思：用中点的坐标表示线段端点上的坐标，然后消去开始引进的P点坐标中的（x′，y′），相当于一种逆向思维的解题方法． 学生在探究最佳方法的过程中，避繁就简，优化思路，使自己的数学思维水平和探究能力跃上新台阶．
　　优化思路2：利用斜率相等
　　设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为点M（x，y）是PQ的中点，P，Q两点在抛物线y2=4x上，代入抛物线方程，两式相减得y■-y■=4（x1-x2），?摇即2y（y1－y2）=4（x1－x2）?摇，
　　当x1≠x2时，2y·■=4，其中■表示直线PQ的斜率． 所以■=kPQ=■，代入上式中，y·■=2，即y2=2x－2为所求的轨迹方程．
　　当x1=x2时，此时方程为x=1，弦的中点M（1，0）符合上面方程．
　　反思：此法运用中点坐标公式和直线斜率相等，采用设而不求的方法，减少了运算层次，简化了解题过程．
　　
　　■实施计划阶段：变换角度，调控思维策略
　　在解题时，常见到一些学生还没有分析清楚，就进入了计划实施阶段：一味罗列公式和方程，因而误入冗杂之途或导致错解；也有学生见到陌生题无所适从，使解题陷入困境． 要摆脱困境，必须做到：（1）重新审题，弄清题意，继续挖掘隐含条件；（2）寻找各数学量之间的联系；（3）改变思维角度，开辟新的思路．
　　例3 从圆（x－1）2+y2=1外一点P（2，3）向该圆引切线PA，PB，切点为A，B，求弦AB的长及直线AB的方程．
　　
　　思路分析：从直观图形分析入手，由切线求切点，再由两点间距离公式和两点式求直线方程．
　　解：由圆心（1，0）到切线的距离等于半径，求得切线方程为x=2和4x－3y+1=0． 将切线方程代入圆方程，求得切点A■，■，B（2，0）. 再由两点式，得直线AB的方程为x+3y－2=0.
　　反思：以上是典型的用待定系数法思想解题，通过解方程组求交点，符合学生思维习惯，易被学生理解和掌握，但运算量比较大． 如何改进才能使求切点变得更简捷呢？
　　优化思路１：利用几何性质，由两圆相交求切点
　　设已知圆的圆心为C，根据平面几何性质，切点是以PC为直径的圆与圆C的交点．以PC为直径的圆方程为（x－2）·（x－1）+y（y－3）=0.
　　联立（x－2）（x－1）+y（y－3）=0，?摇①?摇（x－1）2+y2=1，?摇② 两式相减得x+3y－2=0. ③
　　再把直线方程代入①或②，得切点为A■，■，B（2，0）.
　　再由两点式可得过切点A，B的直线方程为x+3y－2=0.
　　反思：运用平面几何性质，可以有效地减少运算层次，简化解题过程．值得思考的是：欲求过切点的直线方程，是否一定要求出切点的坐标呢？
　　优化思路2：巧用设而不求法，直接求过切点的方程
　　设切点坐标为（x，y），由优化1知，切点A，B坐标同时满足方程①和②，亦满足方程③，而方程③是含x，y的一次方程，这说明方程③即为过切点A，B的直线方程．
　　反思：优美的改进，无疑将会增添学生解题探究的乐趣，挖掘其新的思维潜能，促其走出探究困境．
　　
　　■回顾反思阶段：感悟升华，探究解题成败
　　解数学题绝不能解一题扔一题，这样无助于解题能力的提高． 解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径．解题教学中可以引导学生思考：自己能否检验这个论证？能否用别的方法导出这个结果？能不能把这结果或方法用于其他的问题？促其解题思想得到升华，轻松走出探究困境．
　　例4 在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BC，A′D′的中点．
　　（1）求证：四边形B′EDF是菱形；
　　（2）求直线A′C与DE所成角的余弦值．
　　分析：对于第1问，学生往往由B′E=ED=DF=FB′就断定四边形B′EDF是菱形． 事实上，因为存在着四边相等的空间四边形，所以必须证明B′，E，D，F四点共面．这说明学生思维陷入了误区． 此时我们要让学生学会调控思路，寻找成功解题途径．
　　感悟1:?摇寻找失败原因，调整思维方向
　　（1）如图2所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=■a. 下证B′，E，D，F四点共面. 取AD中点G，连结A′G，EG．由EG■AB■A′B′知，四边形B′EGA′是平行四边形，所以B′E∥A′G．又A′F ■DG，所以四边形A′GDF为平行四边形，所以A′G∥FD，所以B′，E，D，F四点共面，故四边形B′EDF是菱形．
　　■
　　图2
　　反思：当思维受阻时，只要及时调控思维，就能“柳暗花明”．
　　感悟2：变换策略，另辟蹊径
　　在解题过程中，若确实碰到此路不通的情况，此时改变思维策略，也能获得走出困境的好方法．
　　策略１：直接法
　　（2）如图3所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP（或补角）为异面直线A′C与DE所成的角．?摇
　　■
　　图3
　　在△A′CP中，易得A′C=■a，CP=DE=■a，A′P=■a，由余弦定理得cos∠A′CP=■，故A′C与DE所成角的余弦值为■．
　　策略2：向量法
　　如图4，建立坐标系，则A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E（a，■，0），所以■=（a，a，－a），■=a，－■，0，利用向量的数量积公式，得A′C与DE所成角的余弦值为■．
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　　图4
　　教学实践表明，教师正确把握数学观和教学观，改变落后的解题教学思想和模式，以波利亚的解题思想为指导，以其解题系统为依据，引导学生主动探究，能够帮助学生走出解题困境，切实提高探究能力．