“圆的方程”教学案

　　教学目标：
　　1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法。
　　2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径。
　　3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。
　　教学重点：
　　圆的标准方程及其运用。
　　教学难点：
　　圆的标准方程的推导和运用。
　　教学过程：
　　1.问题情境
　　（1）情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？
　　（2）问题：①在表示方程以前我们应该先考查有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？②回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？
　　2.圆的标准方程
　　（1）一般的，设点P（x，y）是以C（a，b）为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则|CP|=r，由两点间距离公式，得到：=r即（x-a）+（y-b）=r（1）；反过来，若Q点的坐标（x，y）是方程（1）的解，则
　　（x-a）+（y-b）=r，即=r，这说明点Q（x，y）到点C（a，b）的距离为r，即点Q在以C（a，b）为圆心，r为半径的圆上；方程（x-a）+（y-b）=r（r＞0）叫做以（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程。
　　（2）当圆心在原点（0，0）时，圆的方程则为x+y=r（r＞0）。
　　（3）特别的，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为x+y=1。
　　3.例题讲解
　　例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：
　　（1）（x-2）+（y-3）=7 （2）（x+5）+（y+4）=18
　　（3）x+（y+1）=3 （4）x+y=144
　　（5）（x-4）+y=4
　　教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径。
　　例2．根据下列条件，求出符合条件的圆的标准方程。
　　（1）圆心为A（2，-3），半径长为5。
　　（2）圆心是C（2，3），且经过原点。
　　（3）已知两点P（4，9），Q（6，3），以线段PQ为直径。
　　（4）圆心在y=-x上且过两点（2，0），（0，-4）。
　　（5）以点A（1，2）为圆心，并且和x轴相切的。
　　（6）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点（2，-1）。
　　（7）圆心在直线5x-3y-8=0上，且与两坐标轴都相切。
　　略解：（1）（x-2）+（y+3）=25；（2）（x-2）+（y+3）=13；（3）（x-5）+（y-6）=10；（4）（x-3）+（y+3）=10；（5）（x-1）+（y-2）=4；（6）（x-1）+（y+2）=2；（7）（x-4）+（y-4）=16或（x-1）+（y+1）=1
　　注：（1）圆的标准方程有a，b，r三个参数，因此求圆的方程需要三个独立的条件；（2）解题时注意圆的性质的应用，如垂径定理，过切点的半径垂直切线，等等。
　　例3.判断点M（5，-7），N（-，-1）是否在例2（1）的圆上。
　　解：把点M（5，-7）代入方程得：（5-2）+（-7+3）=3+4=25，即点M（5，-7）的坐标适合方程，∴点M（5，-7）是这个圆上的点。
　　把点N（-，-1）的坐标代入方程得：（--2）+（-1+3）=13+4≠25，即点N（-，-1）坐标不适合圆的方程，∴点N不在这个圆上。
　　问：点N在圆内还是圆外呢？（圆内）
　　结论：点与圆的位置关系：
　　点与圆心的距离为d，半径为r，则
　　点在圆上?圳d=r?圳（x-a）+（y-b）=r；
　　点在圆内?圳d＜r?圳（x-a）+（y-b）＜r；
　　点在圆外?圳d＞r?圳（x-a）+（y-b）＞r。
　　例4．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？
　　解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：x+y=16（y≥0）。
　　将x=3代入得y==＜=3＜3.5
　　即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度，
　　因此，该货车不能驶入这个隧道。
　　思考：是否有其他方法？
　　析：货车截面对角线与半径比较。
　　思考：假设货车的最大的宽度为am，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
　　略解：将x=a代入得y=，即限高为m。
　　4．课堂小结
　　（1）圆的标准方程及其表示的圆心和半径。
　　（2）建系思想和方程思想。