直线与圆锥曲线的位置关系的研究

　　摘 要： 直线与圆锥曲线的位置关系是高中解析几何的重要内容，涉及到位置关系的判定、弦长问题、中点弦问题、最值问题等知识点，突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，学习这部分内容能很好地锻炼学生的思维。
　　关键词： 直线圆锥曲线 位置关系
　　
　　直线与圆锥曲线的位置关系是高中解析几何的重点，也是高考的热点，主要涉及到位置关系的判定、弦长问题、中点弦问题、最值问题等知识点，突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，要求考生具有较高的分析问题、解决问题的能力。下面我结合实例讨论有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题。
　　一、位置关系的判定
　　通常将直线与圆锥曲线方程联立方程组，由消元后方程的解的个数来判定它们的位置关系。
　　例1：若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点，求m的取值范围。
　　解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5。
　　由y=kx+1+=1得：（m+5k）x+10kx+5(1-m)=0。
　　又∵直线与椭圆总有公共点，
　　∴上述方程Δ≥0对一切实数k成立。
　　即(10k)-4x(m+5k)×5(1-m)≥0，
　　亦即5k≥1-m对一切实数k成立。
　　∴1-m≤0，即m≥1。
　　故m的取值范围为m∈(1，5)。
　　二、弦长问题
　　如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)、(x，y)，则弦长公式为：
　　|AB|=·=·
　　例2：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于P、Q两点，以PQ为直径的圆经过原点O，且|PQ|=，求椭圆的方程。
　　解：设所求椭圆的方程为：mx+ny=1(m>0，n>0，m≠n)，将y=x+1代入得：(m+n)x+2nx+n-1=0。
　　设P(x，y)、Q(x，y)
　　由韦达定理得：x+x=-，xx= ①
　　yy=(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1=
　　∵以PQ为直径的圆过点O，则OP⊥OQ
　　∴xx+yy=0，即+=0
　　∴m+n=2 ②
　　将②代入①得：x+x=-nx·x=
　　∵|PQ|=，
　　∴(x+x)-4xx=(1+k)=，4n-7n+3=0
　　∴n=m=，n=m=。
　　∴所求椭圆方程为x+y=1或x+y=1。
　　三、中点弦问题
　　通常采用“点差法”或“通法”。
　　例3：在椭圆x+4y=16中，求通过点M(2，1)且被这点平分的弦所在的直线的方程。
　　解法一：当直线斜率不存在时，M不可能为弦中点，所以可设直线方程为y=k(x-2)+1代入椭圆方程，消去y整理得：
　　(1+4k)x-(16k-8k)x+16k-16k-12=0
　　显然1+4k≠0，Δ=16(12k+4k+3)>0
　　由x+x==4，解得k=-，
　　故所求弦所在直线方程为：x+2y-4=0。
　　解法二：设弦两端点P(x，y)、P(x，y)
　　则x+x=4①y+y=2②x+4y=16③x+4y=16④
　　③-④得：(x+x)(x-x)+4(y+y)(y-y)=0
　　再将①②代入上式得4(x-x)+8(y-y)=0
　　∵x≠x
　　∴k==-。
　　以下同解法一。
　　四、最值问题
　　例4： 过定点 M（ -，0 ）作直线l与椭圆：3x+4y =12相交 于A、B 两点，O 是坐标原点，求 △AOB 的最大面积，并求此时直线l的倾斜角。
　　解：设直线l不垂直 x 轴，则其方程表示为y=k（x+），把它代入椭圆3x+4y=12中，可得：
　　（ 3+4k ）x+8kx+12（ k-1 ）=0。
　　又设 A（ x，y ），B（ x，y ），
　　则x+x=
　　xx=
　　∴| AB |==|x-x|
　　=·
　　=·
　　=·
　　又得到直线l的距离 d=
　　∴三角形 AOB 的面积S=|AB|×d=
　　去分母，两边平方，并化简得
　　4（ 4S-9）k+12（2S-9 ）k+9S=0
　　∵k∈R，有△=［12（ 2S-9 ）］-4×4（4S-9）×9S≥0
　　解之，得 S ≤ 3，由 S ＞ 0，故S ≤。
　　当直线l垂直于 x 轴时，直线l为 x=-，
　　代入椭圆方程求得 A、B 两点的纵坐标，故
　　S =×= ＜
　　因此△AOB 面积的最大值是。
　　此时k=，k=±，故直线l的倾斜角 a=arctg 或 π-arctg。
　　
　　参考文献：
　　［1］范东晖.直线与圆锥曲线关系一课教学与反思.中学教研（数学），2006，（4）.
　　［2］卢平林.点击直线与圆锥曲线相交弦问题.数理天地（高中版），2005，（7）.
　　［3］张必平.热点直击——直线与圆锥曲线相交弦问题巡视.中学理科月刊，2005，（5）.
　　［4］许成义.直线与圆锥曲线位置关系.数学大世界，2003，（12）.