“数形结合”是简缩思维的锐器

　　数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题思路的一种数学思想。
　　数形结合思想方法是高考重点考查的思想方法之一，近年来高考试题（特别是客观题）能够用此方法解决的均占相当的比例。其特点是形象、直观、快捷。因此是高考备考中应予以足够重视的数学解题思想方法。
　　题1：如果x，y满足x-y＞0x+y＞0，则有（）。
　　A.x+y+2x＞0B.x+y+2x＜0
　　C.x+y-2x＞0D.x+y-2x＜0
　　分析：若从不等式性质入手解决，本题为难题；换一个视角思考，若从图形上分析条件与选项意义，本题不难解决。
　　解：作出可行域：x-y＞0x+y＞0
　　而x+y+2x=（x+1）+y-1中（x+1）+y表示可行域内点（x，y）到A（-1，0）距离的平方，易知（x+1）+y＞1，故x+y+2x＞0，选A。
　　评注：本题实质上可视为“线性规划问题”，本题还可变为：不等式x+y-4x＜0成立的充分不必要条件是（）。借助数形分析，选D。
　　题2：已知实数x，y满足（x-2）+2y=3，则最大值为?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
　　分析：本题解法较多，但从数形上分析可使问题解决流畅、简洁。
　　解：（x-2）+2y=1可化为：（x-2）+（y）=3，即（x-2）+y′=3
　　∴=·
　　可视为圆（x-2）+y′=3上点与原点连线的斜率。
　　结合图2，知（）=
　　∴（）=
　　评注：在数形结合求解时，将椭圆方程（x-2）+2y=3化为圆方程（x-2）+（y）=3去理解是数形结合求解的关键。
　　题3：设函数f（x）=2-1，x≤0x，x＞0，若f（x）＞1，则x的取值范围是（?摇?摇?摇?摇）。
　　A.（-1，1）B.（-1，+∞）
　　C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
　　分析：按分段函数进行处理，因为f（x）＞1，
　　当x≤0时，2-x-1＞1，2-x＞2，
　　∴x＜-1；
　　当x＞0时，x＞1，∴x＞1
　　综上，x的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）。
　　本题若作出函数f（x）图像，就能回避分类讨论。
　　解：首先画出函数y=f（x）与y=1的图像（图3），结合图像，关注选项特征，易得f（x）＞1时，所对应的x的取值范围，选D。
　　评注：对于与分段函数相联系的相关问题（如不等式、最值），均可借助图像法简化分类，优化解题。
　　题4：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）。
　　A.外心B.内心C.重心D.垂心
　　分析：解决本题的关键在于注重向量语言的解读。
　　解：由=+λ（+）得=λ（+）而，为单位向量，故′=+与∠BAC的高平分线同向，又λ（0，+∞），∴与∠BAC角平线同向（图4），故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，选B。
　　评注：从图形上解读向量式的几何意义题是理解向量语言的常用方法，若将条件变为：动点满足=+λ（+），按同样分析，选C。
　　题5：已知二次函数y=f（x）的图像以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f（x）的图像与直线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f（x）+f（x）。
　　（1）求函数f（x）的表达式；
　　（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。
　　分析：由（1）f（x）=x+，∴方程f（x）=f（a）即为x+=a+，若去分母则得到关于x的三be66e3a503bf647fb0a2a94c836259ef次方程，从“数”上处理较难，若能从“形”上考虑，“数形结合”，即可找到解决问题的方案。
　　解：（2）由f（x）=f（a）得x+=a+，即=-x+a+，在同一坐标系内作出f（x）=和f（x）=-x+a+的大致图像（图5），易知f（x）与f（x）在第三象限只有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解。
　　又f（2）=4，f（2）=a+-4。
　　当a＞3时，f（2）-f（2）=a+-8＞a-8＞0。
　　∴当a＞3时，在第一象限f（x）的图像上存在点（2，f（2））在f（x）图像的上方。
　　∴f（x）与f（x）在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解。
　　因此，方程f（x）=f（a）有三个实数解。
　　评注：关于方程根的性态问题，使用数形结合处理比较方便、直观。
　　综上，从内容上讲，可以用数形结合思想方法解决的问题，主要有以下几类：
　　（1）与方程、不等式有关的问题；
　　（2）与函数性质有关的问题；
　　（3）与分段函数相关问题；
　　（4）向量问题；
　　（5）与解析几何有关的问题，如线性规划问题、最值问题等。
　　反思：在使用数形结合方法时，要注意以下两点。
　　（1）数形结合属简缩思维模式，常用来解选择题、填空题，若用来处理解答题，要特别注意说理的严密性，如题5中两函数在第一象限的交点的说明。
　　（2）在数形结合时，要注意对函数的优化选择，达到简捷、容易的目的。
　　如题2中将（x-2）+2y=3转化为（x-2）+（y）=3处理，又如题5中将方程x+=x+a+转化为=-x+a+处理，就是这一意义。