函数方程问题的一些初等解法

　　摘 要： 函数方程问题近年来多次出现在高考和高中数学竞赛试题中，而解函数方程是比较难的数学问题，本文通过分析一些简单函数方程的初等解法，包括：换元法、递归法、假设论证法、待定系数法、赋值法及构造法，并结合具体实例说明解函数方程问题的关键，对高中函数方程问题的教学和高考复习有一定帮助。
　　关键词： 函数方程 定义 解法
　　
　　美国数学教师协会（NCTM）曾指出：“解题是80年代学校数学的重心。”1989年4月NCTM在其出版的《中小学课程及其评量标准》中第一条更指出“数学即解题。”因此，自20世纪80年代以后，数学解题活动成了各国数学教育的重心，而数学解题相关的研究也开始愈来愈盛行。当然，初等数学中的相关解题研究也备受瞩目。自函数方程问题在中学数学竞赛中出现以来，其相关的解题研究也常常受到数学工作者的青睐，而其中最吸引人的当属函数方程解题方法研究。函数方程问题是一个十分古老，又是分析学中至今尚未成型的问题之一，很少有此类问题的一般解法。函数方程问题从“最早出现在竞赛试题中”到“在竞赛试题中占了一席之地”再到“出现在高考题中”，其解法也越来越丰富多样，下面对其初等解法作一些简单探讨。
　　一、函数方程的定义
　　在研究各种函数时，许多函数的定义都可表示为某一函数方程。例如，用f（-x）=f（x）定义偶函数，用f（-x）=-f（x）定义奇函数，用f（x+T）=f（x）定义周期函数，等等。我们将表示某一函数类或某一函数所具有的一定性质的等式叫做函数方程。简单地说，含有未知函数的等式叫做函数方程。
　　二、函数方程的解法
　　下面通过例题给出几种解函数方程的初等方法。
　　1.换元法
　　换元法是将函数方程中的变量进行适当的换元，得到一个新的函数方程，再与原函数方程构成一个方程组，然后解此方程组就可求出原函数方程的解。
　　换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
　　例1：设函数f：{x|x≠0、1，x∈R}→R，且满足f（x）+f（）=1+x①，求f（x）。
　　解：令=y，有x=，代入①得f（）+f（y）=，即f（x）+f（）=②，
　　令x=，代入①得f（）+f（）=，
　　即f（）+f（）=③，
　　由①+②-③，得f（x）=，经验证，f（x）=符合方程为所求。
　　这道题来源于美国普特南数学竞赛试题，看似复杂的问题，用换元法却可以迎刃而解。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注意新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，需通过验证来证实。
　　2.递归法
　　由自然数的函数组成的方程用换元法能够有效解决，但也有失效的时候，例如由斐波契那数列得到的函数方程：
　　f（n+2）=f（n+1）+f（n），且f（1）=1，f（2）=1
　　如果分别令