高中数学知识的变式教学实践

　　摘 要： 本文简要介绍了变式教学的理论基础，用实际教学中的两个案例介绍了教学中的变式练习实践。
　　关键词： 变式 高中数学知识 变式教学
　　
　　变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态；变式是对于某种范式的变化形式，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，事物的非本质属性不断迁移的变化方式［１］。
　　在实际教学时，通过变式训练使学生深刻理解本质属性，排除事物的非本质属性的干扰，从而形成正确的概念，一直是数学教育研究的热点；在习题方面，通过变式练习，使学生形成基本运算和迁移知识的能力，最终达到提高学生能力的目的，也是教师们一直追求的目标。
　　变式教学的理论基础来自于建构主义学习论：数学学习不应被看成纯粹的个人行为，也即对于知识的被动接受和简单积累，而应被看成个体在一定社会环境中的建构活动(意义赋予)，新、旧知识(和经验)的组织与重组，是形式建构与“具体化”的辩证统一。真正的数学教学应具有如下几个特征：(1)在学习目标方面，表现为对知识的深层次的理解；(2)在学习过程中，表现为高水平的思维；(3)在学习的情境方面，表现为师生，生生之间的充分沟通，合作［２］。在学习活动中，教师应在肯定学生主体地位的前提下，在教学活动中起主导作用，教师需要就学习内容设计出有思考价值，符合学生认知发展规律，能激发学生兴趣的问题，创设平等、自由的学习氛围，充分开展师生、生生之间的交流与合作学习，引导学生通过持续的分析、探索、假设、检验去解决问题，提升探究数学知识的能力。
　　安德森将知识分为陈述性知识和程序性知识。陈述性知识是关于“是什么”的知识，是对事实、定义、规则和原理等的描述。程序性知识则是关于“怎么做”的知识，如怎样进行推理、决策、或者解决某类问题等［３］。喻平（2000）认为数学知识的分类按照广义的知识分类是合适的，他将数学知识分为陈述性知识和程序性知识。学生的学习常常从陈述性知识的获得开始，而后进一步加工消化，成为可以灵活、熟练应用的程序性知识。
　　高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。
　　在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈一下变式练习在实际教学中的应用。
　　题目1：（高中数学新教材第二册（上）P130 例2）直线y=x-2与抛物线y=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB。
　　本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广变式：由原式知y=x-2与x轴交点坐标为（2，0），对抛物线y=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列变式：
　　变式1：直线l过定点（2p，0），与抛物线y=2px（p＞0）交于A、B两点，O为原点，求证：OA⊥OB。
　　证明：设l的一般方程式为x=ky+2p，代入题目中的抛物线方程中，化简得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，y·y=-4p，所以xx=（）=4p，所以·=xx+yy=0，所以⊥，即OA⊥OB。
　　如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可有下面的试题：
　　变式2：（2004年重庆高考理科卷）设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程。
　　由变式1可知OA⊥OB，即点O在圆H上，因H为圆心，故H为AB的中点。由中点坐标公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。
　　显然OH为圆的半径，且OH==，所以当n=0时，圆的半径最小。此时AB的方程为x=2p。
　　当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式1的条件和结论进行互换得到下列命题：
　　变式3：若A、B为抛物线y=2px(p＞0)上两个动点，O为原点，且OA⊥OB，求证：直线AB过定点。
　　过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问题和解决问题。本题只要设出A、B两点坐标，根据这两点满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍微改变一下设问则可得到下面试题：
　　变式4：(2001春季高考题)设点A、B为抛物线y=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。
　　解有上面的变式可知AB过定点N（4p，0），OM⊥AB?圯OM⊥MN，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（除原点），其方程也可求出。
　　思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定的收获和提高。
　　题目2：（高中数学新教材第二册（下A、B）P131 例2）在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。
　　本题比较容易，但是我们可借助本题进行如下变式探究：
　　将已知中的条件变形如下：
　　变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，怎样求线路正常工作的概率？
　　解：设这三个开关能闭合为事件A，B，C，则可求得概率为P(A)·P（B）·P（C）=0.7=0.343。
　　变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率？
　　假设三个开关为M，M，M由已知M，M串联，再与M并联，则线路正常工作的概率为1-［1-P(A)·P（B）］·［1-P(C)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。
　　变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率？
　　假设由已知并联，再与串联，则得
　　（1-［1-P(A)］［1-P（B）］)·P(C)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637
　　变式4：（2001年天津高考理科卷）用A、B、C三类不同的元件联结两个系统，当元件A、B、C都能正常工作时，系统N能正常工作；当元件A正常工作，元件B、C至少有一个正常工作时，系统N能正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率分别为0.8，0.9，0.9，分别求系统正常工作的概率。
　　可以看出这一例题是以上变式的综合变形，这样使得学生经过类比、分析，不断对问题进行深入理解。这种一题多变的变式教学能够完善学生的知识结构和认知结构。其实还可以深入进行思考：
　　以上4个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者多个呢？会有怎样的情况发生？将上述题目题变成开放式的问题：
　　变式5：若该线路友4个开关（串、并）联结而成，已知每个开关能够闭合的概率都是0.8，若要求线路正常工作的概率（称为可靠度）大于0.85，请设计开关的联结方式。进一步引导学生分类讨论思考。上题可分析共有7种联结方式，详情也请读者思考。这里不再详细赘述。
　　著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”由此在数学教学中 ，若通过变式教学，引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生的创新能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］丁殿坤，边平勇.变式在高等数学中的应用.高等函授学报，2010.
　　［2］谢景力.数学教学的变式及实践研究［D］.2006.
　　［3］陈琦，刘儒德主编.当代教育心理学（第2版）.北京师范大学出版社，2007.