高中数学恒成立问题应试处理策略

　　摘 要： 恒成立问题一直以来都是高中数学中的一个重点和难点，这类问题没有一个固定的处理方法。恒成立问题能够很好地考查函数数列不等式等知识，以及转化化归等数学思想。因此涉及恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐。本文试将此类题的求解策略从四个方面进行小结。
　　关键词： 高中数学 恒成立问题 求解策略
　　
　　恒成立问题一直是高中问题数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年越来越受到高考命题者的青睐，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文试将此类题的求解策略进行小结。
　　一、利用分类讨论思想直接处理
　　例1：已知函数f（x）=x-2ax+4在区间［-1，2］上都不小于2，求a的取值范围。
　　解：因为函数f（x）=x-2ax+4的对称轴为x=a，所以必须考查a与jn7Yq76tq1dw0olt0F7ITw==-1，2的大小关系，显然要分三种情况讨论。
　　1．当a≥2时，f（x）在［-1，2］上是减函数，
　　此时f（x）= f（2）=4-4a+4≥2，
　　即a≤，
　　结合a≥2，所以a无解。
　　2．当a≤-1时，f（x）在［-1，2］上是增函数，
　　此时f（-1）=1+2a+4≤2，
　　f（x）=f（-1）=1+2a+4≥2，
　　结合a≤-1，
　　即-≤a≤-1。
　　3．当-1＜a＜2时，
　　f（x）= f（a）=a-2a+4≥2，
　　即-≤a≤，
　　所以-1＜a≤。
　　综上1、2、3，满足条件的a的范围为：-≤a≤。
　　二、构造函数，利用单调性处理
　　例2：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x+px+1＞p+2x恒成立的x的取值范围。
　　分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而若将p定位主元，则可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
　　解：不等式转化为（x-1）p+x-2x+1＞0，
　　设f（p）=（x-1）p+x-2x+1，
　　则原题转化为设f（p）=（x-1）p+x-2x+1＞0在［-2，2］上恒成立，
　　易得f（-2）＞0f（2）＞0，即x-4x+3＞0x-1＞0，
　　解得：x＞3或x＜1x＞1或x＜-1，
　　∴x＜-1或x＞3。
　　三、分离变量，借助不等式性质解决
　　例3：已知数列{a}中，a=6n-5（n∈N），设b=，T是数列{b}的前n项和，求使得T＜对所有n∈N都成立的最小正整数m。
　　分析：T＜恒成立?圳＞Tmax，问题转化为求T的最大值。若求出T的最大值，则问题迎刃而解。
　　解：依题可知b===（-），
　　故Ｔ=b=［（1-）+（-）+…+（-）］
　　=（1-）。
　　易知（1-）＜.
　　∴ 要使（1-）＜（n∈N）恒成立，必须满足≤，即m≥10.
　　例4：已知二次函数f（x）=ax+x+1对x∈［0，2］恒有f（x）＞0，求a的取值范围。
　　解： 对x∈［0，2］恒有f（x）＞0即ax+x+1＞0，变形为ax＞-（x+1）
　　当x=0时对任意的a都满足f（x）＞0，只须考虑x≠0的情况：
　　a＞，即a＞--
　　要满足题意，只要保证a比右边的最大值大就行。
　　现求--在x∈（0，2］上的最大值。
　　令t=，
　　∴t≥，
　　g（t）=-t-t=-（t+）+（t≥），
　　g（t）=g（）=-，
　　∴a＞-.
　　又∵f（x）=ax+x+1是二次函数，∴a≠0，
　　∴a＞-，且a≠0.
　　四、利用数形结合，直观处理
　　例5：不等式（x-1）＜logx在x∈（1，2）上恒成立，求a的取值范围。
　　分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。
　　解：设y=（x-1），y=logx，如图所示。
　　要使对一切x∈（1，2），y＜y恒成立，
　　显然须a＞1， 且log2≥1。
　　∴1＜a≤2.