微元法在电磁感应问题中的应用

　　在电磁感应问题中，由于安培力的大小与电流I有关，I与感应电动势E有关，动生电动势E又与速度v有关。因此安培力与速度相互关联、相互影响。这就导致电磁感应中的非匀变速运动问题，用常规动力学方法很难解决，此时微元法就发挥着不可替代的作用。
　　所谓微元法就是利用微分思想去分析解决问题的一种方法。它将研究的对象或过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直，等等），从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象或过程中的变化规律。具体处理方法是：将研究的问题分解成许多微小的“元过程”，每个“元过程”遵循相同规律，这时只需分析“元过程”，然后将“元过程”累计求和从而解决问题。本文将介绍几种微元在电磁感应问题中的具体应用，试图给读者一点启迪。
　　1.用速度微元速度
　　例1：如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d，间距为d。两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直。（设重力加速度为g）（1）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相。求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q；（2）对于第（1）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。
　　解析：（1）略（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度v，刚离开无磁场区域时的速度v在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律v-v=gtsinθ且平均速度=有磁场区域，棒a受到合力F=mgsinθ-BIl，感应电动势ε=Blv，感应电流I=解得F=mgsinθ-v.
　　根据牛顿第二定律，设在极短时间Δt内的速度变化微元为Δv，则Δv=Δt.
　　等式两边求和，∑Δv=∑gsinθ-Δt，解得v-v=gtsinθ-d（3）.
　　联列解得v=sinθ-，由题意知，v=v=sinθ-.
　　2.用电量微元求电量
　　例2:如图所示，两条相距l=0.20m的平行光滑金属导轨中间水平，两端翘起。虚线MN、PQ之间是水平部分，MN、PQ之间的距离d=1.50m，在此区域存在竖直向下的匀强磁场B=0.50T，轨道右端接有电阻R=1.50Ω。一质量为m=10g的导体棒从左端高H=0.80m处由静止下滑，最终停在水平轨道上，导体棒始终与导轨垂直并接触良好。已知导体棒的电阻r=0.50Ω，其他电阻不计，g取10m/s。求：导体棒运动的整个过程中，通过电阻R的电量。
　　解析：导体棒进入磁场，受到安培力作用，取一段极短时间Δt，速度变化微元为Δv，电量变化微元Δq=iΔt，由动量定理得-BilΔt=mΔt，即：-BlΔq=mΔt，等式两边求和-∑BlΔq=∑mΔv
　　所以电量q=∑Δq=，其中v=.
　　因此，整个运动过程中通过电阻R的电量为q==4C.
　　3.用位移微元求距离
　　例3：如图所示，质量为m的导体棒曲垂直放在光滑足够长的U形导轨的底端，导轨宽度和棒长相等且接触良好，导轨平面与水平面成θ角，整个装置处在与导轨平面垂直的匀强磁场中.现给导体棒沿导轨向上的初速度v，经时间t导体棒到达最高点，然后开始返回，到达底端前已经做匀速运动，速度大小为.已知导体棒的电阻为R，其余电阻不计，重力加速度为g，忽略电路中感应电流之间的相互作用.求：导体棒上升的最大高度.
　　解析：选沿斜面向上为正方向，上升过程中的加速度为a，上升到最高点的路程为S，
　　根据牛顿第二定律得a=-（gsinθ+）.
　　取一段极短时间Δt，速度变化微元为Δv，由Δv=aΔt，得Δv=-（gsinθΔt+vΔt）.
　　其中，vΔt=Δs，在上升的全过程中，等式两边求和∑Δv=-（gsinθ∑Δt+∑Δs）.
　　即0-v=-（tgsinθ+）.因为H=Ssinθ，且gsinθ=，所以H=.
　　4.用时间微元求时间
　　例4：如图所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为R，一部分弯曲成半径为r的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好.圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感强度为B.导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右移动，从而使圆圈缓慢缩小.设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的．试求此圆圈从初始的半径r到完全消失所需时间T.
　　解析：设在恒力F作用下，A端Δt时间内向右移动微小量Δx，则相应圆半径减小Δr，则有：Δx=2πΔr.在这瞬息Δt时间内F的功等于回路电功F•Δx=•Δt，ε==BΔS可认为是由于半径减小微小量Δr而引起面积变化，有：ΔS=2πr•Δr.
　　而回路电阻R为：R=R•2πr.
　　代入得：F•2πΔr=Δt=•Δt，所以Δt==.
　　显然Δt与圆面积的变化ΔS成正比，所以当面积由πr变化至零时，经历时间T为T=∑Δt=∑=∑ΔS，所以T=.
　　 注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”