浅析数学思维能力的养成

　　数学是一门严谨的科学，其实质是数学思维活动的教学，教学中，不少学生在分析和解决问题时，有的思路不清楚，考虑欠周到；有的遇到困难不会转化.因此，揭示思维过程是发展学生思维的需要，是形成学生良好认知结构的需要，更是素质教育的需要.因此，注重从思维教育的角度展现并突出必要的数学思维和实际的认识过程，使学生更多地参与知识的发生发展过程，应该成为数学课堂教学实施素质教育的基本点和着眼点，应当成为数学课堂的一个准则.下面我就数学教学中如何展现思维过程谈谈几点认识.
　　1.展现解题时方法的选择过程
　　数学教学中，学生的思维往往是通过模仿教师的思维逐渐形成的，他们最关心的是教师在解题时是如何进行分析探索的，解题思路是如何展开的，解题方法是如何确定的，思维障碍是如何突破的.一道数学题中，数学信息很多，怎样揭示知识之间的联系和规律，是教师的一个重要任务.要让学生掌握解法，就要求教师在解题时能充分展现自己的思维过程，展示数学思维过程中的每个层次和环节，使学生不仅清楚怎么做，而且明白为什么这么做.否则教师的分析通顺，学生却觉得神秘莫测；教师以为易如反掌，学生却难于登天；教师口若悬河，学生却如坠云烟.一旦陷于这种困境，绝不会取得理想的教学效果.
　　例1：已知二次函数f（x）=x-ax-3在区间［-1，1］上的最小值为3，求实数a的值.
　　这是二次函数最值问题的一种常见形式。其基本解题思路是先求出二次函数的最小值，再建立关于最小值的方程，从而求出字母的值.问题的关键在于如何求出二次函数的最小值，本题属于轴动区间定型，其思路是借助二次函数图像，结合对称轴和所给区间的相对位置，画出草图，通过图像求出最小值.即将最值问题转化为区间端点或图像顶点的函数值问题.本题涉及二次函数的图像和性质，数形结合、分类讨论、化归的数学思想，本题的难点是分类的标准，教师在探求时应注意分析.
　　分析：二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，对称轴为x=，它与区间［-1，1］有如下三种位置关系：
　　当对称轴在区间的左侧，即≤-1，亦即a≤-2时，由图1可知，二次函数的最小值在区间的左端点处取得，从而有f（-1）=a-2=3，a=5.
　　当对称轴在区间的内，即-1≤≤1，亦即-2≤a≤2时，由图2可知，二次函数的最小值在区间的顶点处取得，从而有f=--3=3，a=-24，a无解.
　　当对称轴在区间的右侧，即≥1，亦即a≥2时，由图3可知，二次函数的最小值在区间的右端点处取得，从而有f（1）=-a-2=3，a=-5.
　　综上可知，a=5或-5.
　　这样分析，学生对解题的整个思维过程才能有一个清晰的认识，对知识的掌握才能更加牢固。
　　2.展现思维受阻时的转化过程
　　数学解题中，学生在寻求解题思路的过程中并非总是一帆风顺，往往会遇到许多挫折，甚至达不到目的.教师在备课时要充分考虑到学生思维上可能会遇到的困难，有时也可以故意设计一些思维障碍，制定相应的对策，使学生学到思维受阻时的转化策略.让学生学到教师突破困境时的思维过程，这对发展学生思维，提高学生解题能力都是大有裨益的.
　　例2：已知圆C：（x-1）+（y-2）=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，证明：直线与圆相交.
　　分析：判断直线与圆的位置关系的常用方法有：
　　（1）圆心到直线距离与半径比较，即有圆心C（1，2）到直线距离
　　d==，这个距离与半径r=5比较显然很困难，使得思维受阻.
　　（2）直线与圆方程联立方程组，通过消元转化为二次方程根的个数判断，但易知在消元这一环节就是一个难点，也无法继续下去.
　　这时能不能换个角度来看待它们呢？
　　思路1：d与r无法正面比较，不妨转化为侧面比较，假设直线与圆相切或相离，则d≥r，即≥5，化简得116m+144m+49≤0，由于Δ=144-4×116×49=-2000＜0，结合二次函数图像知不等式无解，即假设不成立，所以直线与圆相交；
　　思路2：观察直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可判定其恒过定点P（3，1），那么所求问题可转化为点P和圆的位置关系，由已知可得PC==＜5，即定点P（3，1）在圆C内，故直线与圆相交.
　　在教学时，教师应当引导学生观察、分析、对比，顺应学生思维，又要因势利导，使学生在思维受阻时能及时转变思维方向、方式和策略，缩小探索范围，尽快走出困境.
　　3.展现学生思维的不完整过程
　　学生与教师由于生活经历、知识水平、思维能力的差异，在遇到同一个问题时不能考虑完善，学生思维上的困惑又正是教师重点解疑排难的地方.因此，教师要注意在教学中展现学生的思维过程，从中发现问题，展开探究，完善思路，以发展学生的思维，提高解题能力.
　　例3：求过点（5，3）且与圆（x-1）+（y-1）=16相切的直线方程.
　　这是一道常见的求切线方程问题，学生通常的解法是：
　　设直线：y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，圆心（1，1）到直线的距离d==4，即k=-，所以直线方程为y=-x+.
　　分析：上述的错误在于过点（5，3）的直线未必存在斜率，即过点（5，3）且与圆（x-1）+（y-1）=16相切的所有直线中还有一条斜率不存在的直线x=5没有考虑.因此，正确解法为：
　　1）当直线斜率存在时，设直线：y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，圆心（1，1）到直线的距离
　　d=，即k=-，所以直线方程为y=-x+.
　　2）当直线斜率不存在时，即直线为x=5，显然与圆相切，所以，所求直线方程为y=-x+或x=5.
　　在解题时，让学生展现自己的想法，教师再从中发现问题，帮助学生分析和解决，提高其思维的严密性.
　　例4：已知方程x+（k-2）x+5-k=0的两根都比2大，求实数k的取值范围.
　　对于一元二次方程根的分布问题，学生却首先想到的是根与系数的关系，但由于条件的复杂性，常会出现如下错误：
　　设方程两根为x，x，则由根与系数关系得
　　Δ≥0x+x＞4xx＞4k-16≥02-k＞45-k＞4k≤-4.
　　分析：上述求解的错误在于：
　　x＞2x＞2（1）与x+x＞4xx＞4（2）并不等价，由（1）可推出（2），但由（2）未必能推出（1），要解决这个问题，应借助“x＞0x＞0?圳x+x＞0xx＞0”，即对条件做些变形，再利用上述方法求解.
　　由x＞2x＞2?圳x-2＞0x-2＞0?圳（x-2）+（x-2）＞0（x-2）（x-2）＞0
　　得Δ≥0（x-2）+（x-2）＞0（x-2）（x-2）＞0Δ≥0x+x-4＞0xx-2（x+x）+4＞0?圳k-16≥02-k-4＞05-k-2（2-k）+4＞0-5＜k≤-4
　　本题也可选择借助函数图像，运用数形结合的方法求解，我们知道方程的根是其对应的函数图像与轴交点的横坐标，如果将问题放在函数中进行动态分析，就可借助运动的二次函数图像与轴交点的位置来确定实数的范围.其解法如下：设函数f（x）=x+（k-2）x+5-k，其图像是开口向上的抛物线，要使方程两根均大于2，则较小的根必大于2，因此抛物线的左半支与轴交点的横坐标大于2即可，如图，由图像知，Δ≥0＞2-5＜k≤-4.f（2）＞0
　　总之，数学的解题教学中，有思维的探索、问题的提出、知识的形成、规律的发现，对于上述这些思维过程，教师不仅要起示范作用，而且要让学生展现自己的想法，从中发现、分析、解决问题，从而发展学生的思维能力，提高学生的探究能力。
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