含参数一元二次不等式模型分类解法

　　摘 要： 含参数不等式的求解问题一直是高中数学的一个难点，求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧.本文先介绍含有一个参数不等式求解的几个基本模型，然后介绍含有多个参数一元二次不等式的求解模型.
　　关键词： 参数 二元二次不等式 模型 分类策略
　　
　　所谓含参数不等式，就是指除含未知数之外还含有参数的不等式.此类不等式，往往因参数的取值范围不同，解集也不同.这类问题是中学数学的难点之一，学生对其常常难以驾驭，因此有必要研究其解法.本文重点讨论形如ax+bx+c＞0（ax+bx+c＜0）一元二次不等式模型，谈谈分类策略及解题方法，供大家参考.
　　一、含有一个参数的一元二次不等式模型
　　模型1：当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论.
　　例1：求不等式x+（1-a）x-a＜0的解集.
　　解：解方程x+（1-a）x-a=0
　　得两根x=-1，x=a.
　　根据函数y=x+（1-a）x-a开口向上的特点分类讨论-1与a大小：
　　①当a＜-1时，不等式的解集为{x|a＜x＜-1}；
　　②当a=-1时，不等式的解集为?准；
　　③当a＞-1时，不等式的解集为{x|-1＜x＜a}.
　　模型2：当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式进行讨论.
　　例2：求不等式x-2x+a＞0的解集.
　　解：△=4-4a
　　①当△＜0时，即a＞1，不等式的解集为R；
　　②当△=0时，即a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；
　　③当△＞0时，即a＜1，不等式的解集为{x|x＜或x＞}.
　　模型3：当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次要对对应的一元二次方程的判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论.
　　例3：求不等式ax-2ax-3a＞0（a≠0）的解集.
　　解：变形得a（x-2x-3）＞0
　　①当a＜0时，整理得（x+1）（x-3）＜0，不等式的解集为{x|-1＜x＜3}；
　　②当a＞0时，整理得（x+1）（x-3）＞0，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞3}.
　　例4：求不等式ax-x+1＞0的解集.
　　解：（1）当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；
　　（2）当a＜0时，一定有△=1-4a＞0，方程ax-x+1=0有两个不等实根x=，x=，且x＞x，此时不等式的解集为{x|＜x＜}；
　　（3）当a＞0时，对于方程ax-x+1=0，△=1-4a.
　　①△＜0，即a＞，不等式的解集为R；
　　②△=0，即a=，不等式的解集为{x|x≠2}；
　　③△＞0，即0＜a＜，不等式的解集为{x|x＜或x＞}.
　　由例4这一综合题可以发现，求解含有参数一元二次不等式模型的核心问题在于分类讨论，选择正确的分类标准，不重不漏才是关键.一般步骤为先讨论二次项系数，后对判别式进行讨论.如果需要的话，还要对根的大小进行比较.含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式，其解题过程实质一样.
　　二、含有多个参数的一元二次不等式模型
　　模型4：对于一元二次不等式模型中含有多个参数的问题，我们要想最终求出与参数密切相关的问题解，需要结合求方程的根，函数图像，分类讨论等相关知识点，找到参数之间的关系，进行求解.
　　例5：已知不等式ax-bx+1＜0的解集为{x|x＜-或x＞1}，求关于x的不等式x+bx+a＜0的解集.
　　解：因为ax-bx+1＜0的解集为{x|x＜-或x＞1}，所以可以得到ax-bx+1=0有两个解x=-，x=1，且a＜0，-+1=，-×1=得a=-2，b=-1.求解不等式x+bx+a＜0变成求解不等式x-x-2＜0，原不等式解集为{x|-1＜x＜2}.
　　例6：已知不等式ax+bx+c＞0的解集为{x|x＜-2或x＞3}，求关于x的不等式cx+bx+a＞0的解集.
　　解：因为ax+bx+c＞0的解集为{x|x＜-2或x＞3}，所以可以得到ax+bx+c=0的两个解x=-2，x=3，且a＜0，-2+3=-，-2×3=得b=-a，c=-6a.求解不等式cx+bx+a＞0变成求解不等式-6ax-ax+a＞0，提取a整理得a（6x+x-1）＜0.由于a＜0，求解6x+x-1＞0，原不等式的解集为{x|x＜-或x＞}.
　　本文由浅入深地介绍了含有参数的一元二次不等式模型的几种基础解法.我们可以发现在求解此类问题时，应正确认识问题中的参数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行求解，希望能对大家学习含参数一元二次不等式有所帮助.
　　
　　参考文献：
　　［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.
　　［2］田宝运.不等式问题中的数学思想［J］.中学数学研究2004，1.
　　［3］解兆武.含参数的一元二次不等式的解法［J］.理科考试研究（数学版）.2001，2.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文