排列组合解题策略梳理

　　排列组合问题是解决概率问题的基础，多以选择填空形式出现，小巧灵活，有很强的抽象性和综合性；同时又对分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想有着较高要求，学生不易掌握，为历年高考必考内容.因此我们有必要将相关思维方法和解题策略梳理一下.
　　1．用好两个原理：分类问题用加法，完成一件事的几类方法之间是独立的，计数时不重不漏；分步问题用乘法，完成一件事的几步之间是连续的，计数时缺一不可。
　　例1.（2010年天津理10）如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有（ ）
　　A.288种 B.264种 C.240种 D.168种
　　【答案】B
　　【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A=24种方法；（2）B、D、E、F用三种颜色，则有A×2×2+A×2×1×2=192种方法；（3）B、D、E、F用二种颜色，则有A×2×2=48种方法，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种.
　　例2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）
　　A．8 B．24 C．48 D．120
　　【答案】C
　　【解析】2和4排在末位时，共有2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2A个.故选C.
　　2.相邻问题捆绑法。相邻的几个元素捆绑成一起，视作一个元素参与排列。
　　例3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
　　A.60 B.48 C.42 D.36
　　【答案】B
　　【解析】解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有CA=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）.此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙.所以，共有12×4＝48种不同排法.
　　解法二：同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A（A共有CA种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
　　第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6AA=24种排法；
　　第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A=12种排法；
　　第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有6A=12种排法.
　　三类之和为24＋12＋12＝48种.
　　3．不相邻问题插空排。元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
　　例4.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
　　A.1440种 B.3600种 C.4820种 D.4800种
　　解析：除甲乙外，其余5个排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA=3600种，选B.
　　4.定序问题除法法则。在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用先进行全排再除以保持一定顺序元素的全排方法。
　　例5.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）
　　A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
　　解析：题中元素的全排数是，即A=120种，有限定顺序的元素的全排为A，故满足条件的不同排法为，选B.
　　5.分配问题分组法。分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配。
　　例6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
　　解析：把四名学生分成3组C有种方法，再把三组学生分配到三所学校有A种，故共有CA=36种方法.
　　6．名额分配问题隔板法。
　　例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
　　解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案有C=84种.
　　7．限制条件的分配问题分类法。
　　例8：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
　　解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
　　①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；
　　②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A方法，所以共有3A；
　　③若乙参加而甲不参加同理也有3A种；
　　④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A种，共有7A方法.
　　所以共有不同的派遣方法总数为A+3A+3A+7A=4088种.
　　8．多元问题分类法。元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成几类情况分别计数。
　　例9.（重庆卷文10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天。若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）
　　A.30种 B.36种 C.42种 D.48种
　　【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即CC-2×CC+CC=42.
　　法二：分两类：甲、乙同组，则只能排在15日，有C=6种排法；甲、乙不同组，有CC（A+1）=36种排法，故共有42种方法.
　　【答案】C
　　例10.（2010天津理）用四种不同颜色给图