中考矩形创新题赏析

　　2010年各地中考数学对矩形问题的考查出现了许多创新题，这些创新题具有情景的新颖性、设问的灵活性等特点。下面举例说明。
　　
　　一、操作探究
　　例1 （河南省）（1）操作发现
　　如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部。小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由。
　　（2）问题解决
　　保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值。
　　（3）类比探究
　　保持（1）中的条件不变，若DC=n•DF，求的值。
　　解析：（1）同意。连接EF，
　　因为∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
　　所以Rt△EGF≌Rt△EDF，GF=DF。
　　（2）由（1）知，GF=DF。设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y。因为DC=2DF，所以CF=x，DC=AB=BG=2x，则BF=BG+GF=3x。
　　在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2，所以y=2x。可得==。
　　（3）由（1）知，GF=DF。设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y。
　　因为DC=n•DF，所以DC=AB=BG=nx，
　　CF=（n-1）x，BF=BG+GF=（n+1）x。
　　在Rt△BCF中，BC 2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2。
　　所以y=2x，可得==或。
　　点评：本题从简单的矩形、三角形入手，探讨图形的折叠、线段的长度变化，在条件发生变化时，类比探究代数式取值的变化。既考查了数学基础知识，也考查了数学思维能力。
　　二、折叠
　　例2 （江苏省连云港市）在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为__________。
　　解析：如图2所示，连接BB′，由题意可知△ABB′为等腰三角形，AE垂直平分BB′。由线段的垂直平分线的性质可知，直线AE上的每一点到点B和到点B′的距离相等。则要在AE上找出到边CD的距离与到点B的距离相等的点P，只要过点B′作CD边的垂线，与AE的交点即为所求点P。所以图2中，BP＝B′P且B′P⊥CD。易证四边形BEB′P为菱形。
　　在R149f0f699e636f1cb888b44028525e8bt△ADB′中，易得DB′＝3，所以CB′＝2。在Rt△CEB′中，CB′=2，
　　设B′E=x，则CE=4-x，所以(4－x)2＋4＝x2，解得x＝。
　　点评：图形折叠类问题的解决总是离不开轴对称、勾股定理等基础知识，此类问题考查同学们的动手能力及空间想象能力。本题设计的问题是寻找到与已知线段和已知点的距离相等的点。需要大家在充分理解题意的条件下，联系已学知识转化应用，再应用菱形的性质，最终将问题转化为熟悉的折叠类问题。
　　三、剪、拼
　　例3 （山东省威海市）如图3-①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC、△A1B1C1。
　　
　　﹙1﹚将△ABC、△A1B1C1按如图3-②所示摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E。求证：∠B1C1C＝∠B1BC。
　　﹙2﹚若将△ABC、△A1B1C1按如图3-③所示摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F。试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由。
　　（3）写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形______________。
　　解析：（1）如图3-④，依题意知，
　　△ABC≌△A1B1C1，则有AB= A1B1，∠A=∠1，
　　所以∠3=∠A=∠1，BC1∥AC。
　　又知BC1=AC，所以四边形ABC1C是平行四边形，∠4=∠7=∠2。
　　因为 ∠5=∠6，所以 ∠B1C1C＝∠B1BC。
　　﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC。
　　理由如下：如图3-⑤，依题意，知△ABC≌△A1B1C1，
　　所以 AB=A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，
　　∠A=∠2。
　　所以 ∠3=∠A，∠4=∠7。
　　因为 ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，
　　所以 ∠C1BC＝∠A1BA。
　　因为 ∠4=（180°－∠C1BC），∠A=（180°－∠A1BA），
　　所以 ∠4=∠A，∠4=∠2。
　　因为 ∠5=∠6，所以 ∠A1C1C=∠A1BC。
　　﹙3﹚△C1FB， △A1C1B，△ACB。
　　点评：此题以同学们熟悉的图形为背景，提供了观察和操作的机会。通过矩形的“剪与拼”，考查了大家的动手操作能力和计算能力。