巧添辅助线解决梯形问题

　　梯形是一种特殊的四边形。解决梯形问题的基本思路是通过割补、拼接转化为三角形或平行四边形的问题来解决。通常利用作辅助线的方法来实现转化。常见的辅助线有：
　　
　　现举例说明，供同学们参考。
　　一、平移对角线
　　过梯形上底的一个顶点作一条对角线的平行线，与下底的延长线交于一点，构造平行四边形、等腰三角形或直角三角形。
　　例1 已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=4，BC=8，BD=6，求AC的长。
　　解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED为平行四边形。所以AD=CE，AC=DE。又因为AC⊥BD，所以∠BOC=∠BDE=90°。
　　因为BE=BC+CE=BC+AD=8+4=12，BD=6，
　　所以在Rt△BDE中，DE===6，
　　即AC=6。
　　二、平移一腰
　　在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，利用平行四边形的性质，把分散条件集中到三角形中，从而为证明创造必要条件。
　　例2 已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数。
　　解：过A点作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形。
　　所以AD=EC，CD=AE。
　　因为AB=CD=4，AD=3，BC=7
　　所以BE=AE=AB=4，即△ABE为等边三角形。
　　所以∠B=60°。
　　三、作高
　　过梯形一底的两个端点向另一底作垂线，把梯形转化为矩形和两个直角三角形。
　　例3 已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。求证：CO=CD。
　　证明：过A点作AE⊥BC，过D点作DF⊥BC，垂足分别为E、F，则四边形AEFD为矩形。
　　所以AE=DF。
　　因为AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，
　　所以AE=BE=CE=BC，∠ACB=45°。
　　因为BC=BD，所以AE=DF=BD。
　　又因为DF⊥BC，所以∠DBC=30°。
　　因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD==75°。
　　因为∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°，
　　则∠BDC=∠DOC，所以CO=CD。
　　四、延长两腰
　　延长两腰交于一点，构成三角形。
　　例4 已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，AD＜BC。求证：梯形ABCD为等腰梯形。
　　证明：延长BA、CD，它们相交于点E。
　　因为AD∥BC，
　　所以∠B=∠EAD，∠C=∠EDA。
　　因为∠B=∠C，所以∠EAD=∠EDA。
　　则有EA=ED，EB=EC，所以AB=CD。
　　又因为AD≠BC，所以梯形ABCD是等腰梯形。
　　五、过一顶点与另一腰中点作直线
　　例5 已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC。
　　证明：延长DE交CB的延长线于点F。因为AD∥CF，所以∠1=∠F，∠A=∠2。
　　又因为AE=BE，所以△ADE≌△BFE。即有ED=EF，AD=BF。
　　因为CE⊥DE，所以DC=CF，而BF+BC=CF，所以AD+BC=DC。