数学的精髓 解题的利器

　　数学思想是数学的精髓、解题的利器，数学思想可以帮助我们准确快速地解答数学问题。下面以2010年中考题为例，说明隐含在“四边形”中的数学思想，供同学们学习时参考。
　　
　　一、方程思想
　　例1 （湖南省湘潭市）长方形的周长为12 cm，长是宽的2倍，则长为_______cm。
　　解析：设长方形的宽为x cm，则长为2x cm，根据题意有2（x＋2x）＝12，解得x＝2，2x＝4，所以长为4 cm。
　　点评：本题通过设未知数列方程求解，体现了方程思想。
　　二、整体思想
　　例2 （山东省临沂市） 正方形ABCD的边长为a，点E、F是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD和AB的平行线，如图1所示，则图中阴影部分的面积之和等于___________。
　　解析：根据轴对称的性质，S四边形MNFE=S阴影FPQE，阴影部分面积之和就是△ABD的面积，所以图中阴影部分的面积为a2。
　　点评：本题如果先分别求出三个阴影部分的面积，不容易办到。而把三个阴影部分面积之和视为整体求解，则容易办到，体现了整体思想。
　　三、转化思想
　　例3 （湖南省长沙市）等腰梯形的上底是4 cm，下底是10 cm，一个底角是60°，则等腰梯形的腰长是_______cm。
　　解析：如图2，过点A作AE∥DC交BC于点E，则∠AEB=∠C，又等腰梯形ABCD中，AB=DC，所以∠B=∠C，从而∠AEB=∠B；因为∠B=60°，所以△ABE是等边三角形，即有AB=BE。又因为AD∥BC，所以四边形ADCE是平行四边形，则EC=AD=4 cm，因此BE=10-4=6 cm，故AB=6 cm。
　　点评：等腰梯形问题常转化为等腰三角形和平行四边形问题，体现了转化思想。
　　四、分类思想
　　例4 （宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）。
　　A．1个B．2个C．3个D．4个
　　解析：如图3所示，分别以相邻两边AB与AC、AC与BC、AB与BC为边的平行四边形各有一个，因此共有3个平行四边形，故应选C。
　　点评：本题通过分情况讨论，寻找构成平行四边形的个数，体现了分类思想。在应用分类思想解答数学问题时，要注意分类时不重复、不遗漏。
　　五、一般化思想
　　例5 （湖北省荆门市）如图4，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2 009时，点P所在位置为______；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为_____（用含自然数n的式子表示）。
　　解析：由于正方形的边长是1，因此动点P从A点出发回到A点时所走的路程是4，而2 009÷4=502…1，因此当它的运动路程为2 009时，点P所在位置为点B；当点P第1次运动到点D时，点P所走的路程为4×1-1=3，当点P第2次运动到点D时，所走的路程为4×2-1=7，当点P第3次运动到点P时，所走的路程为4×3-1=11，当点P第4次运动到点D时，所走的路程为4×4-1=15……因此点P第n次运动到点D时所走的路程为4n-1。答案应分别填B、4n-1。
　　点评：本题通过运动的几种特殊情况找到规律，得到一般性的结果，体现了一般化思想。