军费开支作为消费品的经济增长模型研究

钱晓惠，程东旭，赵慧杰，郑玉晖

（中原工学院，郑州450007）

军费开支作为消费品的经济增长模型研究

钱晓惠，程东旭，赵慧杰，郑玉晖

（中原工学院，郑州450007）

在一个典型的随机环境中，采用动态规划的方法，考虑到产品产量和资本积累，建立了HJB方程，方程的显式解表明军费开支会影响长期资本积累和经济增长率.该模型为减少军费开支对经济增长的负效应、增强其正效应提供了理论依据.

军费开支；动态规划；效用函数；HJB方程

军备竞赛与经济增长的关系是国防经济理论研究的热点问题.1960年，Richardson提出了一个经典的军备竞赛模型.此后，人们对国防经济学研究的兴趣日益浓厚，大量文献相继问世.1973年，Benoit著作的出版引发了军费开支究竟是促进还是阻碍经济发展的争论，这一争论一直延续到今天；2009年，卢周来指出，在金融危机背景下，要警惕某些国家通过增加军费开支发动战争来转嫁危机，同时要继续适度提高军费开支、扩大内需，以此夯实未来经济增长的基础［1］；2011年，王万珺、陈晓和指出，国防支出与经济增长之间存在门槛效应，国防支出占GDP比例的最优规模由次级门槛值决定［2］.

虽然动态最优化是军备竞赛理论的一部分，但它很难考虑到产品产量和资本积累，因而前人把焦点放在了消费和军费开支的最优分配上.本文采用动态规划方法证明了在一个典型的随机环境中军费开支会影响长期资本积累和经济增长率，并分析了影响的复杂性，最后给出了乙、丙两国军费开支对甲国经济增长影响的动态比较结果.

1 以军费开支作为消费品的经济增长模型

本文把军费开支看作一种消费品，设甲国的效用函数U（c（t），m（t），m＊（t），m＊＊（t））是二次可微的凹函数，其中m（t）、m＊（t）、m＊＊（t）分别为甲、乙、丙三个国家的军费开支，c（t）为甲国的消费.假设甲国从本国的消费和军费开支得到的效用都是递增的，但边际效用递减，即U1＞0，U2＞0，U11＜0，U22＜0；甲国从乙国和丙国军费开支得到的效用和边际效用都是递减的，即U3＜0，U4＜0，U33＜0，U44＜0；并假设：

甲国的产出dY由国内实物资本k通过随机收益不变的AK型技术生产，它的随机项以dy表示［3］：

dY ＝F（k）dt＋H（k）dy，且F′（k）＞0，F″（k）＜0

其中dy服从均值为0、方差为σ2ydt的独立正态分布，即E（dy）＝0，V（dt）＝σ2ydt.

由于将军费开支作为消费品，甲国的预算约束方程可表示为：

设乙国军费开支满足如下随机过程：

丙国军费开支满足随机过程：

其中αm＊dt、βm＊＊dt分别是乙、丙两国军费开支的平均水平；σm＊dz、εm＊＊ds是随机项，且E（dz）＝0，V（dz）＝σ2dt，E（ds）＝0，V（ds）＝ε2dt.

假设随机项的协方差为：

在满足上述条件的前提下，建立如下最优化模型：甲国如何选择消费c（t）、资本积累k（t）、军费开支m（t），使U（c，m，m＊m＊＊）最大，即

其中初始资本存量k（0）给定.

2 模型求解

为了求出模型的显式解，我们引入值函数V（k，m＊，m＊＊，t）.若给定指数贴现－ρt，则可假设值函数为：X（k，m＊，m＊＊）e－ρt＝V（k，m＊，m＊＊，t），并定义它的微分算子为：L（X（k，m＊，m＊＊）e－ρt）［4］，从而问题等价于甲国选择消费和军费开支，使得下式取得最大值：

通过式（3）右边分别对c、m求偏导数，得到最优性条件为：

式（4）说明甲国由消费和军费开支得到的效用在最优性条件下是相等的.另外，值函数必满足HJB方程［5］：

此外，效用函数也可以写成：

猜测值函数的解可以用下面的形式表示：

式中：δ为待定参数.

定义总消费为C＝c＋m，则c＝θC，m＝（1－θ）C.因此可得：

由以上讨论，可得资本存量的动态方程为：

dk＝（Ak－C）dt＋Akdy

所以，甲国消费的期望增长率和资本存量的期望增长率均为：

由于初始资本存量k（0）已知，则k的解为：

解式（1）、式（2），可得：

3 动态比较

现在我们讨论乙、丙两国军费开支的平均增长率和不稳定性对甲国经济增长的影响.

乙国军费开支的平均增长率对甲国经济增长的影响为：

这说明如果甲国消费的跨时替代弹性较小（大）的话，乙国较高（低）的军费开支的增长会导致甲国经济增长较快（慢）.

乙国军费开支的不稳定性对甲国经济增长的影响为：

这说明当乙国的军费开支不稳定性增强时，甲国消费的更大的跨时替代弹性会导致更快的经济增长.

丙国军费开支的平均增长率和不稳定性对甲国经济增长的影响同乙国对甲国的影响类似，这里不再重复讨论.

此外，甲国本身产出的不稳定性也对经济增长有一定影响：

4 结 语

本文在动态规划的理论基础上，将军费开支作为国家的一种消费品，建立了经济增长模型，求出了模型的显式解.通过对乙、丙两国军费开支对甲国经济增长的影响进行动态比较，可以把握军费开支和国民经济的相关性，为减少军费开支对经济发展的负效应、增强其正效应提供理论依据，这对国防政策的制定和国防支出的统筹规划具有重要意义.由于将军费开支作为消费品有其片面性，在接下来的工作中，我们将讨论将军费开支作为投资物品时对经济增长的影响.

［1］ 卢周来.从国际比较看军费开支与经济增长关系［J］.经济学动态，2009（10）：132－137.

［2］ 王万珺，陈晓和.国防支出与经济增长均衡关系的理论和实证研究［J］.财经研究，2011，37（1）：16－26.

［3］ Eaton J.Fiscal Policy，Inflation and the Accumulation of Risk Capital［J］.Review of Economic Studies，1981，48：435－445.

［4］ 泽夫·司曲斯.随机微分方程理论及其应用［M］.上海：上海科学技术文献出版社，1986.

［5］ 龚六堂.经济学中的优化方法［M］.北京：北京大学出版社，2000：185－199.

［6］ 张尧庭，陈慧玉.效用函数及优化［M］.北京：科学出版社，2000：38－42.

［7］ 刘先忠，胡适耕，刘金山.消费的跨时替代弹性与经济增长［J］.华中科技大学学报，2001，29（3）：107－109.

［8］ 刘成刚，于春明，张令石.论动态规划方法在不确定投资理论中的应用［J］.山东建筑工程学院学报，2006，21（2）：145－147.

［9］ GONG Liu－tang，ZOU Heng－fu.Military Spending and Stochastic Growth［J］.Journal of Economic Dynamics ＆ Control，2003，28：153－170.

Study on an Economic Growth Model Based on Military Spending as a Consumer

QIAN Xiao－hui，CHENG Dong－xu，ZHAO Hui－jie，ZHENG Yu－hui
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Suppose that each country’s military spending meet the stochastic process，consider the product output and capital accumulation，using the dynamic programming the HJB equation is established.Through the explicit solution of the equation，military spending will affect the long－term capital accumulation and the economic growth rate.It provides a theoretical basis for reducing the negative effects and enhancing positive effects of the economic development in military spending.

military spending；dynamic programming；utility function；HJB equation

O221.3

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2011.05.010

1671－6906（2011）05－0038－03

2011－08－19

河南省重点科技攻关项目（082100210041）

钱晓惠（1981－），女，河南孟州人，讲师，硕士.