基于 COMSOL软件下截锥体电阻的计算

桑芝芳 蒋新晨

(苏州大学物理科学与技术学院,江苏苏州 215006)

基于 COMSOL软件下截锥体电阻的计算

桑芝芳 蒋新晨

(苏州大学物理科学与技术学院,江苏苏州 215006)

本文应用 Comsol软件讨论了截锥体内电势和电流的分布,并计算了截锥体的电阻.

截锥体;电势;电阻;Com sol软件

1 引言

稳恒条件下导体内电势、电流的分布,不规则或不均匀导体电阻的计算等问题是电磁学教学的基本问题.在电磁学教材[1,2]中就有关于求解截锥体电阻的习题,甚至在 2009年江苏省高考卷中也以实验题的形式出现了这样的问题.另外,有一些微电子器件呈锥体形状,例如真空微电子器件中最常用的阴极就是尖锥,其电阻可影响尖锥的场致发射特性.因此对截锥体中电势、电流的分布以及截锥体电阻等问题的讨论不仅对电磁学教学有很好的参考价值,而且也有一定的实际意义.电磁学教材中主要应用公式求解截锥体的电阻,这种方法在截锥体两端面半径近似相等 (即截锥体近似于圆柱体)时是一种比较好的近似方法;但两端面半径相差较大时,该方法误差就较大,不够准确.要严格求解截锥体电阻,首先是要解决一个关于电势φ的边值问题,然后再应用电势、电流和电阻的关系求出电阻.事实上要得到这一问题的解析解非常困难,一般只能通过数值方法求解.文献[3]提出了用差分法求解的思路与步骤,但比较烦琐.本文应用 Comsol软件可方便、形象地显示出截锥体内电势、电流的分布,从而求出电阻.

2 求解截锥体电阻的理论模型

问题如图1所示,截圆锥体电阻率为ρ;长为 L;两端面的半径分别为 a、b;试计算此锥体两端面之间的电阻.

方法 1应用公式求解,截锥体的电阻为

此方法相当于将截锥体看成垂直于轴的一系列薄片串联而成,若在两端面加上一定的电势差,则在截锥体内的等势面为垂直于轴的一系列平面,电流将平行于轴向流动,如图2所示,这显然不妥.尤其在两端面半径相差较大时,会产生较大误差.

方法 2通过边值问题求解.若在截锥体两端加上恒定的电势差,则导体内有恒定电流 (设恒定电流密度为 J),由恒定电流条件有Δ·J=0,又根据欧姆定律所以有由于截锥体材料均匀,电阻率ρ为常数,所以Δ·E=0,其中 E为导体内部恒定电场强度.恒定电场和静电场类似,与电势φ的关系为 E=-Δφ,所以导体内部电势φ满足拉普拉斯方程

在边界上满足边界条件,因而两端面上有

其中,φa,φb分别为 x=a,x=b两端面上的电势,侧面上有

其中 n为导体侧面的外法线方向.

求解上述边值问题,可得到导体内部的电势分布,根据欧姆定律,导体内部的电流密度为 J=通过导体任一截面的总电流为

从而求得导体电阻为

3 用 Comsol软件求解截锥体电阻

上述边值问题是一个关于电势φ的椭圆形方程的边值问题,用解析法求解非常困难,本文用Comsol软件可方便地求解上述问题.

Comsol Multiphysics(简称 Com sol)是一款大型的高级数值仿真软件,目前广泛应用于科学研究、教学研究以及工程计算中,它具有高效的计算性能,实现了任意多物理场的高度精确的数值仿真.Comsol省去了繁杂的转换和编程过程,提供了现成的求解模块来对问题进行求解.本文利用了其中的AC/DC模块对截锥体电阻进行了基于有限元的仿真模拟.

具体建模过程 为了全面地获得截锥体的整个电势、电流分布等物理图像,我们首先运用 AC/DC模块建立了截锥体电阻的三维模型.方法是:在 Comsol界面下选择 AC/DC模块下的子模块——传导介质 DC,并选择空间维度为 3D.进入图形用户界面后,运用绘图工具进行几何建模,并设置求解域电阻率和边界条件 (为方便起见,截锥体一端面接地,另一端面电势为φ0=10V).设置完毕后,使用自由网格剖分功能初始化网格,并在适度细化网格后使用共轭梯度求解器求解模型.最后,在 Comsol后处理模式下可以观察到三维截锥体的电势分布、电流分布等一系列的模拟效果图.

图3～图6从不同角度形象、直观地反映了电势、电流的分布规律,图3(a)、(b)、(c)分别为=0.3,0.6,0.9时截锥体的电势分布纵截面图;图4为时的切面图;图5(a)、(b)分别为=0.05,0.5等势面立体图.从图中可以看出,它完全符合稳恒电场的规律,结果是比较准确的.从图3～图5中可以看出,等势面不是垂直于轴的平面,而是近似于球冠面,随着的增大,等势面越来越接近于平面.从图6可以看出,电流并不是沿轴向传播,在左右两端面处,电流垂直于端面,在中段电流呈分散形,在侧面与端面交界处,没有电流线,电流为零.这是由于电场线既要平行于侧面,又要垂直于端面,因此在其交界处电场为零,从而电流为零.

[1] 马文蔚等.物理学 (中册)[M].北京:高等教育出版社,1999

[2] 赵凯华.电磁学[M].北京:高等教育出版社,1985

[3] 张祖寿.锥形体电阻的计算[J].大学物理,1994,(10):12

CALCULATION OF RESISTANCE OF A TRUNCATED CONE CONDUCTOR BASED ON COMSOL SOFTWARE

Sang Zhifang Jiang Xinchen
(College of Physical Science and Technology,Soochow University,Suzhou,Jiangsu 215006)

The distribution of electrical potential and current in the truncated cone was discussed in this paper,by using the Com sol software.The resistance of the truncated cone was also calculated.

truncated cone;electrical potential;resistance;Com sol software

2010-05-12;

2010-09-03)

江苏省高校自然科学基金资助项目(Q2108703)