对比分析思维在材料力学教学中的应用

摘要:在传统教学中，教师是施教者，学生是效仿者和被动接受者，很多教师把自己的角色定位于“教书”，而不是教“学生”。因而大多是把书本上的知识传授给学生，视学生为接受知识的“容器”。随着时代的发展，教学理念的变化，学生不再是被动的知识接受者，而是自我导向的积极的知识追求者，每个学生都可以有自己的学习内容、学习方式以及评价方式，学生应成为学习的主角，这意味着教师工作重心应由“教”转向“导”，不再把主要责任理解为传授知识，而是帮助学生去发现、组织与管理知识，同时与学生建立良好、和谐的师生关系。

Abstract: In the traditional teaching, the teacher is the instructor, and the student is imitator and passive recipient. Many teachers take their own role as to "teach", but not to teach "student". So most of them just transfer the knowledge to students, viewing the students as "knowledge container". With the development of the society and the change of the teaching way, students will no longer be passive knowledge receivers, but positive self-oriented knowledge suitors. Each student can have their own learning content, learning method and evaluation method. Students are supposed to be the leading role in study. This means that teachers should alter focus from"teaching" to "guide", which means their main responsibility is no longer to merely impart knowledge but to help student to discover, organize and manage knowledge, and at the same time, build good, harmonious teacher-student relationship.

关键词：对比分析、材料力学、教学

Key Words: contrastive analysis, the material mechanics, teaching

1前言

对于土木工程专业的学生来说，力学课程的学习是十分重要，又相当难学。在长期的教学和研究工作中，作者发现对比分析思维在材料力学教学中的重要作用，在教学过程中进行了初步的尝试，尝试结果显示，学生既能够接受，又表现出极大的兴趣，下面简要介绍对比性思维在教学过程中的应用。

对比分析法也称比较分析法，是把客观事物加以比较，以达到认识事物的本质和规律并做出正确的评价。

2.1轴向拉伸和压缩

所研究的杆件为理想化材料，满足连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。杆件的受力特点为外力合力作用线与杆轴线重合；其变形特点为杆件沿轴线方向伸长或缩短。在学生掌握常用均直杆件的轴向拉伸和压缩计算的基础上，作者发现通过选用典型例题进行对比分析，能够促进学生的学习兴趣和对该知识点的深度认识，可以达到事半功倍的效果。

Example1: 试求自由悬挂的直杆由于自重引起的总伸长。已知直杆杆长为L，截面积为A，容重为γ，弹性模量为E，如图一所示。

分析：计算杆伸长，由于轴力N为x的函数，

因此不能满足胡克定律的条件。在离杆下端为x处，

假想地截取长度为dx的微段，其受力如图一所示。

在略去高阶微量的条件下，微段dx的伸长可写为：

（1）

所以整个杆件的伸长为：

（2）

Example2: 横截面面积为A，单位长度重量为q的无限长弹性杆，自由放在摩擦因数为f的粗糙表面上，如图二（a）所示。试求欲使该杆在端点产生位移δ时所需的力F。已知杆的弹性模量为E。

分析：无限长弹性杆，在外力F的

作用下的只能在有限长的杆长范围内产

生内力如图二（b），令其长度为L，由

力的平衡条件可知：

F=fqL (3)

则(4)

在离杆轴力为零的x处，假想地截取长度为dx的微段，其受力如图二（c）所示，在略去高阶微量的条件下，微段dx的伸长可写为：

（5）

则杆端产生位移δ为：

(6)

联立式（5）和（7）解得 。

在施教过程中发现学生对Example1的求解思路比较清晰，能够较准确画出悬挂直杆在重力作用下的轴力图乘倒三角形分布进而能够计算其伸长量；但对Example2却缺乏一定的分析能力。其实Example1和 Example2同属非均匀变形杆，通过Example1和 Example2的对比分析，可以和学生共同总结非均匀变形杆伸长的计算公式为

（7）

从而能够启发学生分析问题和处理问题的能力。

2.2 扭转

Example3：图三（a，b，c）为薄壁杆的三种不同形状的横截面，其壁厚δ及管壁中线的周长均相同。三杆的长度和材料也相同，若作用在杆端的扭转力偶也相同，试求三杆切应力之比。

分析：三杆均属薄壁杆，（a）和（b）是闭口薄壁杆，（c）属于开口薄壁杆，应展开为狭长矩形截面进行求解。可知：

Example4：一变厚度薄壁圆管如图四所示，在两端承受扭转力偶矩M作用、已知管长为L，平均半径为R0，最小壁厚为δ1，最大壁厚为δ2，壁厚δ随θ（δ1≤δ≤δ2）呈线性变化（上下对称），管材料的切变模量为G。试求方位角为θ处的扭转切应力τ（θ）与圆管两端相对转角。

分析：此题属于薄壁

杆件计算的范畴，问题关

键点为是壁厚随着角度是

线性变化的。因此解决问

题的出发点为壁厚随角度

变化的关系。

当材料在线弹性范围内工作时，单位体上外力所做的功为： 由于单元体内所积蓄的应变能dVε数值上等于dW，于是可得单位体积内的应变能密度为νε为

积蓄在杆中的应变能Vε为

由能量守恒定律可知：

。

Example3和Example4同属薄壁杆的计算题型。通过对比分析能够让学生熟练掌握等直圆杆、空心圆杆和薄壁杆的求解问题。让学生在学习过程中通过对比分析能够归纳总结。

2.3弯曲应力

Example5：图五（a）所示截面为b×h的矩形截面简支梁，跨中点C增加一弹簧系数为k，弹性模量为E的弹簧。重量为P的重物自C点正上方高为H处自由落下，如图所示。试求：冲击时梁内的最大应力；若弹簧的位置如图六（b）所示放置，梁内最大正应力又为多大？

分析：此题属于动荷载作用，与静载作用有所区别是动荷载有动载放大的效应。从能量守恒的角度去分析，首先是重物的势能转化为动能，动能又转化为势能。从处理问题的角度去分析，我们可以把动载视为静载进行分析，在静载分析的基础上在乘以动荷因数Kd。先研究a：

重物P的静位移 为：

冲击时梁的最大应力 在跨中为：

改变弹簧的位置如b图所示，与a所不同的是弹簧约束这重物P的位移，但重物P的位移应与弹簧的压缩量相等难建立一个平衡方程。

可解得

冲击时梁的最大应力 在跨中为：

力学课程的学习一直被视为土木工程专业学生学习的难点，要想提高力学课程的教学质量，首先应激发学生学习的兴趣。作者發现对比分析思维在力学课程的学习中处于非常重要的位置。笔者在全国周培源力学竞赛培训过程中将对比分析思维应用于教学实践，结果显示，学生既能够接受，又表现出极大的兴趣。学习需要趣味。孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师。”已故数学大师陈省身在被问到他为什么要把数学当作自己终身的事业时，回答得十分简单、可爱而又发人深省—因为数学“好玩”。“好玩”者，有趣也。研究一门学问或者学习一门课程，能否从中发现并获得乐趣，效果大不相同。

作者简介：王鑫 女 1979年12月 讲师 国家一级注册结构工程师 硕士研究生，2001毕业于甘肃工业大学（现兰州理工大学）建筑工程专业，2006年毕业于西安建筑科技大学结构工程专业，现就职于华中科技大学武昌分校城市建设学院，主要从事土木工程专业结构方向教学，协助培训第六届、第七届和第八届全国周培源力学竞赛，并取得较优秀的成绩。

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。