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一种积分因子的存在定理及应用

2011-12-20张若峰

城市建设理论研究 2011年23期

张若峰

摘要本文给出了微分方程 的一种积分因子的定义,得出了这

种积分因子存在的充要条件和计算公式。

关键词积分因子;通积分;全微分方程

An Existence Theorem of Integral Factor and Application

Zhang Ruofeng

(Tianshui Norm college, Tianshui Gansu 741001)

Abstract: This paper gives an existence theorem of integral defination, and finally gets the necessary and sufficient condition and fomula of the subject.

• Key Words: integral factor, application, total differential equation

一引言

由于全微分方程计算方便和简单,因此寻求微分方程)(1)

, (1)

的积分因子 ,使得微分方程(2)

(2)

成为全微分方程,使问题得以有效且简便解决。对一些特殊结构的积分因子,如 中仅含 或 ,或者型等,已经得到了判别定理和求积分因子 的计算公式(详见文 )。本文主要对积分因子 中既含 又含 的比较复杂的一种情形,给出定义和判定定理,并建立积分因子的计算公式。

二主要结果

定义 1若连续可微函数,(x,y) ,使方程(2)为全微分方程,则 称为方程(1)的积分因子。

定义2若方程(1)积分因子 为

= ,(x,y)(3)

则称 为复合型积分因子(这里 为连续函数)

引理 方程(2)为全微分方程的充要条件是

(x,y) (4)

定理若方程(1)满足 ,(x,y) ,则方程(1)存在复合型积分因子 = 的充要条件是存在连续函数 ,使得

(5)

并且,积分因子 由下式确定

= ,(6)

(6)式中的 由(5)给出。

证明必要性:由引理,积分因子 满足

(7)

将 = 代入(7)整理后得

(8)

由 可得

(9)

所以有

(10)

取一元函数 ,由(10)得知(5)式的正确性。

再证明充分性:取二元函数 满足

= , (11)

式中 由(5)使给出。下面证明 为方程(1)的积分因子。

(12)

(13)

(13)减(12),并利用(5)得

推论 方程(1)有复合型积分因子 的充分必要是存在连续函数 ,满足

并且积分因子为

证明取 ,由定理即知结论的正确性。

容易看出,当取 时,是一般文献中所介绍的存在 型积分因子的条件。

三应用

例求方程 的通解。(14)

解這里 ,所以有

(15)

取 (16)

将(15),(16)代入(5)式左端得

(17)

因此取(18)

由(17),(18)式可知,定理中条件(5)成立.根据定理,方程(14)具有复合型积分因子 ,经计算得

=(19)

所以,方程(14)可化为全微分方程

=0(20)

=

= +

故得原方程通解为:

= , 为任意常数。

参考文献

1 东北师范大学数学系编。常微分方程 。高等教育出版社,2001,12,35~45

2 王高雄等编。常微分方程 。北京:高等教育出版社,1984,3,44~49

Existence Theorem of a Integrating Factor and its Application

Zhangruofeng

(Department of Mathematics and statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu )

AbstractThis paper give the definition of a integrating factor about differential equation,then obtains thenecessary and sufficient condition of the existence of the integrating factor and its calculating formula..

Key WordsComplex integrating factor;General integral;Fully differential equation

注:文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。

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