基于Fourier谱元法的拱坝结构静动力分析探究

唐波

简介：将谱方法和有限元理论结合形成的谱元法，同时具有谱方法任意阶收敛和有限元可操作性的优点。将Fourier积分函数运用于谱元法对拱坝结构计算中，具有快速、高效、精确的求解优势，对提高数值计算精度和谱元法在工程中的实用性，具有较高的参考价值。

关键词：拱坝结构静动力分析、谱元法、Fourier积分函数

Research on static and dynamic analysis of dam structure

based on Fourier spectral element method

Tang Bo

School of Civil Engineering, Tong ji University, Shang Hai, China, 200092

Abstract：The spectral element method originated from the finite element method (FEM) and the spectral method has the advantages of excellent operability and convergence of arbitrary order. The dam structural calculation using spectral element method with Fourier integral function can solve equations fast, efficiently and accurately. Therefore, it has a large value in improving the numerical accuracy and the practicality of spectral method in practical engineering.

Keywards：Static and dynamic analysis of dam structure, spectral element method, Fourier integral function

1、引言

結构静、动力分析的高速、有效和准确性，一直以来都是研究人员关注的问题，在结构计算理论也不断发展的基础上，新的计算方法也不断被提出，例如数值差分法、有限元方法等。本文在前人的基础上，利用谱方法的优点，对结构各种荷载激励下的静、动力计算分析方法做出了初步探究。

2、基本理论

我们知道，一般静、动力问题的基本理论方程为：

几何方程： (1)

为应变向量，为微分算子，为形函数，为几何矩阵，为节点位移向量，为拱坝结构位移矩阵。

物理方程：(2)

为结构应力向量，为刚度矩阵。

力平衡方程：(3)

是微分算子，是该点在单位体积的体积力向量，和分别为质量密度和阻尼系数。

力的边界条件：（4-1）

为边界上已知弹性体单位面积上作用的面积力量；为边界外法线方向余弦形成的列向量；

几何边界条件：（4-2）

为边界上已知的位移向量。

3、基本动力方程

由有限元法可知，由达朗贝尔原理可知结构的基本动力方程为：

（5）

单元刚度矩阵：（5-1）

单元质量矩阵： （5-2）

单元阻尼矩阵：（5-3）

矩阵形式表达为：

上式中，为单元荷载向量。

则对整个结构可知：（6）

分别为结构刚度矩阵，阻尼矩阵，质量矩阵，荷载矩阵。

4、利用Fourier谱元法形成计算形函数矩阵

对于任意函数，采用fourier逼近则有：

由最佳平方逼近可知得：

对于在离散点 给定值的函数，可以类似的求出在离散点的离散Fourier系数和，即得到如下表达式：

（）（7）

利用三角变换可得：（8）

其中：

在实际运用中，采用如下点集： ，则代入上式可得：

（9）

其中：

则可以得到：

对于函数导数的计算可以通过对的导数计算，配置点处的导数为：

（10）

对三维函数，在标准的正方体单元内，分别定义三个方向上的节点系，其中：

则有：

则的傅里叶谱展开式为：

（11）

其中：，，

显然：

若共i个点，则（13）式可表示为：

得到位移形函数再代入下面的计算中。

5、刚度矩阵、质量（阻尼）矩阵、荷载向量推导

类似有限元方法，推导在变换矩阵和矩阵

同样按照有限元的推导方法，得到：

由得到单元刚度分块矩阵

其中： （12）

的表达形式类似于有限元法的表达形式，不过形函数形式如前所推导。

由得到单元质量分块矩阵，

其中： （13）

由得到荷载列向量

其中: 体力荷载（14-1）

面力荷载（14-2）

得到积分形式之后，我们可以参考有限元等参单元和高斯积分将积分形式化为代数乘积表达式，从而得到相应矩阵。

6、编程进行结构静、动力计算分析

拱坝结构受力分析计算一般计算按照如下步骤进行，模型单元划分——→设定基本参数及规定边界条件和初始条件——→读取荷载——→计算单元应力、应变——→结果显示

7、结论

以上的理论推导，笔者认为：谱元法运用于拱坝结构的静、动力分析具有精度高、快速收敛的特点，在实际工程中是可行的，并且由于其独特的优势，将来的运用会越来越广泛。当然，由于谱元法还不够成熟，成熟的运用于实际工程还有很大困难，需要更多的科研人员努力。

参考文献（References）：

[1]: 赵廷刚.若干发展方程的谱方法和谱元法:[博士学位论文].上海：上海大学数学系，2007

[2]：Usik Lee, Joohong Kim, and Andrew Y. T. Leung，The Spectral Element Method in Structural Dynamics. The Shock and Vibration Digest,2000 Vol.32:415～465

[3]：M. Krawczuk, M. Palaczb, W. Ostachowiczb, The dynamic analysis of a cracked Timoshenko beam by the spectral element method. Journal of Sound and Vibration,2003:1139～1153

[4]：王海波，李德玉.拱坝抗震设计理论与实践. 北京：中国水利水电出版社，2006

[5]：朱伯芳.有限单元法原理与应用. 北京：中国水利水电出版社，2009

[6]：向新民.谱方法的数值分析.北京：科学出版社，2000

[7]：John P.Boyd . Chebyshev and Fourier Spectral Methods . University of Michigan , 2000,19-80

[8]：王勖成.有限单元法. 北京：清华大学出版社，2003

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。