循环小数的奇妙结构

摘要：本文阐述了被除数为质数时产生的几种循环小数的多种奇妙现象，进而分析了被除数为合数的相关余数的规则性，揭示了自然界存在的一种数理，并分析了一个偶位数循环节是否有半九律。

关键词： 循环节 余数 互质

1、产生循环节的余数之间的奇妙关系

1.1在a/b中，（a为整数且1≤a＜b，b为不是2或5的质数，本小节条件与此相同)，以b=41为例，把1/41、3/41、4/41化為小数产生的循环节以及依次出现的相关余数如表1：

分子值 出现的循环节上的数值 计算过程中依次出现的余数

1 0 2 4 3 9 1 10 18 16 37

3 0 7 3 1 7 3 30 13 7 29

表1

表1中，a=3与a=1在计算过程中依次出现的余数之间分别有一种3倍的关系：依次为1*3=310*3=3018*3=5416*3=4837*3=111，前两个数值能直观地看出是3倍的关系，而111、48、54用41进制来表示，十位数字分别为2、1、1，其个位数分别为29、7、13。在02439*3的计算中，0、2、4、3、9分别乘以3所得为0、6、12、9、27，以此为序，27进2到9后其个位为7，9加进来的2后为11，11进1后其个位为1，12加上进位来的1为13，13进1后其个位为3，6加上进位的1后为7，没有再进位，所以0不变。三次所进数字2、1、1与以上用41进制表示的三个数的十位数字相同。把进位后的数字依次写出为07317，与02439*3相同。于是可以得出结论：同一个质数为除数产生的多个循环节中，每个循环节相同位置上的数字之间与产生这些数字的相关余数之间隐含有同样的比例关系。

1.2在a/b化小数过程中，若A +A =E，（A 、A 皆为从1到b-1当中的任意整数）则A /b产生的循环节加上 A /b产生的循环节是E/b所产生的循环节。若E/b=Z +v ，Z 为整数，v 为小于b的余数，则v /b产生的循环节与E/b所产生的循环节首尾都是一样的。若E +A =C*b,C为整数，A /b= Z +v ，Z 为整数，v 为小于b的余数，则v + v =b。

1.3如表2所示，a/b化小数中以b=19为例，用表格的形式列出1/19的循环节数字及其相关余数。（表中第一行第j位是第二行第j+1位的个位数，这是b的个位为数字9的原因）。

表格中第一行为循环节，第二行为相关余数

0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1

1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2

表2

把表2中其相关余数从1到10到…到2的方向依次编为a 到a 到…到a ，便于直观，我从a 开始，发现a 是a 的2倍，即2*2=4，同样，a 也是a 的2倍，再以a 的13和a 的16为例，16*2=32，32用19进制表示其个位为13，依次看下去，a 也是a 的2倍，余数a 都是a 的2倍这种隐含的存在全部成立。结论：在a/b化小数时，其先后出现的余数中，如果a 与a 之间有某种差、和、倍的关系，则a 与a 也有这种差、和、倍的关系。又如：从a 到a 中，a +a +a =a 即a 是成立的：2+4+8=14。那么，a 与a +a +a 也有这种隐含的关系，a +a +a =6+3+11=20，用19进制表示其个位数为1即a。例：表1中a 为a =3时，a =11,3+11=14为a 。再如：a +a +a +a 的个位为0成立，那么a +a +a +a 的个位为0也成立，（这里的0是19进制的0）。等等。以上是以b为19时产生的现象，当b为别的质数时，同样会有这种类似的或别的关系。结论：在a/b化小数中，产生的任何一个循环节里，如果依次出现的某顺序上余数之间存在着某种关系时，只要符合这个顺序关系的其它的余数之间也存在同样的关系。

1.4在十进制中，整数Z是否能被整数b整除，要看Z的个位上的数字乘以10 ，加上十位上的数字乘以（10 /b）的余数，再加上百位上的数字乘以（10 /b）的余数，……再加上n位上的数字乘以（10 /b）的余数，（可将所得的结果按同样步骤重复计算，直到最后成一个位数与b相同的数），它能被b整除，Z就能被b整除。若Z是一个由9组成的n位数，个位十位百位到10 位都用9去乘以每位上相应可以得到的余数后相加，若能被b整除，则这个数Z也就能被b整除。以b=19为例，其除十进制10 （n为从0到18的整数）每位上所得的数字刚好与1/19化小数过程中所得循环节的各个余数相同，见表2第二行。即：9*（a +a +…+a ），（j≤b-1）的结果是19的倍数才能被19整除，而质数19并不含有9的任何因数，那么只有（a +a +…+a ）的结果为19的整数倍， 19才是j位9组成数的一个因数。当b=19时，j=b-1=18。除质数3以外，所有的质数都不含9的任何因数。当b=3时，无论（a +a +…+a ）的结果是什么，9*（a +a +…+a +…+a ）的结果都能被3整除。所以当b=3时，产生循环节时其相关余数之和可以不是3的整数倍。结论：在a/b（b≠3）化小数中，产生循环节时把相关余数相加之来和为b的整数倍。

1．5在a/b化小数中，所得的任何循环节的相关余数有w个，w为（b-1）的任何一个因数，包括（b-1），若w=q*p成立，则可按其依次出现的顺序分成q组p个，那么无论任何分法，每一组的首个余数相加和为b的整数倍，其余相同顺序上的余数相加和也为b的整数倍。以1/19为例，用表格分别列出1/19相关余数分3组，每组6个相关余数，如表3

表3表4

表3是1/19所产生的相关余数，表4是根据相关计算得出的与表3有关的数字，即第二行分别是第一行的11倍，第三行分别是第一行的7倍。表4第一列与表3相同，根据整除的理论，由于表3中这些余数都是同一个循环节的相关余数，说明表3中每一行上数字之和不能被19整除，否则就不会有再有其后边的余数，而表4中，从第一行到第三行的第一列数字分别为：A 、A 、A ，设第一行之和为M，第二行之和为M*A / A ，第三行之和为M*A / A 。表3与表4的第一行数之和相同也为M,由于表4各数之和是表3各数之和加上19的整数倍的结果,而表3是从1加到18的数,为(1+18)*18/2结果是19的倍数,所以表4也是19的整数倍,而表4第二行的和为M*A / A ，第三行的和为M*A / A ，其三行之和为：M+ M* A / A + M* A / A即：M*( A + A + A )/ A。由于1≤A ≤18，不含有质数19的任何因数,由整除理论可知M不可能是19的整数倍，所以M/ A 不含有19的任何因数，只有(A +A +A )之和为19的倍数。而(A +A +A )正好是表3第一列数之和。同理可推，分成五组中的（A +A +A +A +A ）的结果也是19的整数倍。再用表格列出7/31计算过程中循环节及相关余数的关系：

循环的数字 2 2 5 8 0 6 4 5 1 6 1 2 9 0 3

相关余数 7 8 18 25 2 20 14 16 5 19 4 9 28 1 10

表5

若按循环节上的三个数字为一组，分成五组，则每组相关余数的第一位分别为7、25、14、19、28，五数之和为93=31*3；第二位数分别为8、2、16、4、1，这五数之和为31=31*1；第三位分别为18、20、5、9、10，这五数这和为62=31*2。这种现象无论以哪个循环节上的数字为开头，只要按循环节顺序如此计算，每组余数相同顺序上的数之和都为31的整数倍。

1.6在a/b化小数中，所得的任何循环节的相关余数有w个，w为（b-1）的任何一个因数，包括（b-1），若w=q*p成立，则可把这个循环节上的数字按循环顺序分成q组p个，无论如何分，只要每组的个数相同，那么，把每组数字按原循环顺序组成一个p位数后再把q个p位数加起来和为T。相关余数的第一列之和（A + A + A +……+A ）除以b等于 Z，Z必为整数，当Z=1时，T为p位数字9组成的数；当1＜Z≤10时，T是首一位数字加上尾一位数字和为9，中间由p-1位数字9组成的数；当10 +1≤Z≤10 时,T是一个n+1位首尾和为n+1位9,中间由p-n-1位9组成的数；以1/7为例，产生的循环节为142857，共6位，可以分成3组，每组两个数字，即14、28、57，则14+28+57=99，3组数的首位数字相关余数之和为1+2+4=7*1；或者分成42、85、71，则42+85+71=198，三组首位相关相余数相加为3+6+5=14，Z=14/7=2，2*9=18，首1加尾8即1+8=9；也可分成两组以上关系也成立的。再以1/31為例，其产生的循环节为032258064516129，共15位，可以分成三组或五组后相加，分别为032+258+064+516+129=999，或03225+80645+16129=99999；再以7/31化小数后的循环节为225806451612903，按以上法则分组后相加分别为225+806+451+612+903=2997，其中，首数2加上尾数7为9；22580+64516+12903=99999；以上现象暂称为合九律。所以在a/b（b为非2、5的质数）化小数中：⑴若产生的任何循环节位数为偶数时，一定具有半九律，且这个质数产生的循环节的个数可为奇数或为偶数；⑵若产生的循环节个数为奇数时，循环节位数一定为偶数；⑶若产生的循环节位数为奇数时，则循环节的个数一定为偶数。

2、除数为合数产生的循环小数

2.1几种特殊数的性质。

真分数a/b中b=b *b ，b 为质数。⑴若b =2 时，a/b=（a*5 ）/b /10 ，若（a*5 ）/ b =Z+v,( 1≤v＜b ),那么a/b=（Z+v/b ）/10 ，Z部分不被包含在循环节里；而b =5 时，同理可推。也就是说，b 为2 或5 时，所产生的循环节与a /b [1≤a ≤（b -1）]产生的循环节相同。而a中与b互质的数所产生的循环节全部可以通过相关转换成以b 为除数所产生的循环节。⑵3是数字动态形式里9的因数，当b =3 时，①若b=b 化a/3 为小数的过程中不会出现余-a的情况；②若n=1，b产生的循环节上数字之和为3的整数倍，且同一个循环节里计算“半九律”的结果为“半六或半三律”；③若n=2，b产生的循环节上的数字和可为任意整数，而在同一个循环节里的计算“合九律”的结果为重复的数字都只为1至8的任可数里的一个数字。④b =3 时，同一个循环节里的任意两个与3 互质的相关余数之差皆为3的整数倍。

2.2 在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 皆非2或5的质数，那么a/b化小数的过程中会产生三部分循环小数，一部分是由从1到（b-1）中有（b -1）个含有b 为因数的数，这些数与b *b 约去b 后成为以a /b 化小数产生的循环节，1≤a ≤（b -1）；同样地，第二部分与第一部分过程一样，是由a /b 化小数产生的，1≤a ≤（b -1）；第三部分是以b为除数，从1到（b-1）中与b互质的数为被除数产生的，其能产生（b-1）-（b -1）-（b -1）即（b+1）-（b +b ）个参与这部分循环节的数字。第三部分循环节相关的余数之间也是有一定关系的。从1到b-1中含有b 、2 b 、3 b ……（b -1）b 和b 、2b 、3 b ……（b -1）b ，它们的和为：[1+（b -1）]*（b -1）* b /2 加上[1+（b -1）]*（b -1）* b /2，结果为b * b *（b +b -2）/2，由于b 和b 皆不为2或5的质数，所以（b +b -2）/2是一个整数，那从1到b-1之和是b*（b-1）/2，所以b*（b-1）/2-（b +b -2）/2也为整数。故第三部分的余数之和是b的整数倍，并且它们的排列很有规则。若b是t个数字9组成数的因数，则与由a /b （或a /b ）产生的循环节组成t位数除以b （或b ）的结果是相同的，并且t是b*（b-1）/2-（b +b -2）/2的因数。以b=119、b =7、b =17为例，由（b+1）-（b +b ）=119+1-7-17=96位，但由于48个9组成的数就能被119整除，所以有两个48位的循环节。当a=1时，余数依次为1、10、100、48、4、40、43、73、16、41、53、54、64、45、93、97、18、61、15、31、72、6、60、5、50、24、2、20、81、96、8、80、86、27、32、82、106、108、9、90、67、75、36、3、30、62、25、12，从以上排列可以看出，a +a =7K ，K 为整数，而a +a =17K ，K 为整数。a 与a 之差为7的整数倍，a 与a 之差为17的整数倍。在119中只含因数7、17仅各一个，用1.5节表3的排列法来分析，48可分解为2*24、3*18、4*12、6*8四种，119的第一行若为6个余数1、10、100、48、4、40，和M为7*29，由a +a =7K ，则第一行之和M含119的因数7，那第一列之和必仅含因数17了，而第一列余数1、43、64、15、50、8、106、36的和17*19不能被119整除；若每行24个，则与每行6个的结果相同，所以都没有半九律。若第一行排16个相关余数，又由a +a =17K ，同理可知，第一列只含因数7不能被119整除。别的排法，都可达到合九律。结论：在a/b中，1≤a＜b,b= b *b ，b 和b 所得的循环节都为自身数减1位。设（b -1）/2=s, （b -1）/2=r，产生的第三部分余数中，a +a 为b 的整数倍，a 与a 之差为b 的整数倍，而a +a 为b 的整数倍，a 与a 之差为b 的整数倍。第一行排2s（或2r）个相关余数所得的第一列和只是b （或b ）的整数倍，而所得T为以b （或b ）为除数所得的w/2s(或w/2r)个循环节组成。（注：w和T见1.6节里的说明）

2.3在a/b中, b=b ，则产生的循环节有两部分，一部分由1到（b -1）除以b 产生，另一部分由1到（b-1）中与b互质的数除以b产生。

2.4在a/b中，当b为n个（非2、5）质因数的积，化小数所得的循环节由2 -1个不同的除数产生。

作者简介姓名：廖敢云出生：1978年10月民族：汉 性别：男

学历：大学职称：技术员

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。