Eisenstein判别法的几个推广＊

陈秀梅,滕常春

(潍坊学院,山东 潍坊 261061)

Eisenstein判别法是高等代数中判定有理系数多项式在有理数域上不可约的常用的一个判别法。

那么 f(x)在有理数域上不可约。

有理系数多项式如果满足Eisenstein判别法的条件(或者作一个一次变换后满足Eisenstein判别法的条件),则可以判定其在有理数域上不可约,但对不满足Eisenstein判别法条件的多项式无法确定其可约性。

本文给出了Eisenstein判别法的几个推广,从而可以对更大的一类有理系数多项式判定其不可约性。

那么 f(x)在有理数域上有次数＞k的不可约因式。

证明 对∂(f(x))归纳。

∂(f(x))=1时,显然 f(x)本身就是一个不可约因式。

假设对次数＜n的多项式成立。下证∂(f(x))=n时成立。若 f(x)不可约,则结论已经成立。

1°p|/bm,2°p|bi-1,…,b0,3°p2|/b0(否则,由 a0=b0c0得 p2|a0,矛盾。)

因此由归纳假设知 f1(x)在有理数域上有次数＞i-1≥k的不可约因式,所以 f(x)在有理数域上有次数＞k的不可约因式。

推论1 Eisenstein判别法(定理1中令 k=n-1即得)。

推论2 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式且无有理根,如果有一个素数 p,使得

(1)p|/an;(2)p|an-2,…,a0;(3)p2|/a0。

那么 f(x)在有理数域上不可约。

事实上,由f(x)无有理根知f(x)无有理一次因式,从而无有理n-1次因式,再由定理1知f(x)有次数＞n-2的有理不可约因式,因此 f(x)有次数=n的有理不可约因式,即 f(x)在有理数域上不可约。

例1 f(x)=x7-5 x6+4 x+2,问在有理数域上是否可约。

解:f(x)不满足Eisenstein判别法的条件,无法用Eisenstein判别法判定其可约性。但是其满足推论2的条件,从而 f(x)在有理数域上不可约。

也可以完全对偶的得到

定理2 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式。如果有一个素数 p和某个正整数k,k＜n,使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理数域上有次数＞k的不可约因式。

推论3 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式,如果有一个素数 p,使得(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理数域上不可约。

推论4 设 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式且无有理根,如果有一个素数,使得

(1)p|/a0;(2)p|an-k,…,an-1,an;(3)p2|/an。

那么 f(x)在有理数域上不可约。

例2 对 f(x)=2 x8+4x6+8 x+3,利用推论3知 f(x)在有理数域上不可约。

例3 对 f(x)=2 x7+4x6+x+3,利用推论4知 f(x)在有理数域上不可约。

[1]北京大学几何与代数教研室.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2008:33-34.

[2]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,1983:72-73.