分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析

梁 娜 叶 超

(1.咸宁学院数学与统计学院,中国 咸宁 437100；2.湘潭大学数学与计算科学学院,中国 湘潭 411105)

分数阶微分方程被广泛地应用到自然科学与工程学领域，引起了科研人员的重视．Metzler和Klafter在其综述性文章[1]中指出分数阶微分方程已经成为描述反常传播过程的一种基本工具．Machado等介绍了分数阶微积分理论在近30年的发展概况[2]，分数阶导数，分数阶微分方程的解法与应用的一些基本理论[3]可见于Podlubny的经典著作．近年来，有关分数阶微分方程的解析解问题[4-7]取得了很多成果，然而这些解时常包含一类特殊而又复杂的函数，如Mittag-Leffler函数，这给实际的应用带来不便．因此有必要去研究分数阶微分方程的数值解法．

迄今为止，分数阶扩散方程的高阶数值方法很少．CHEN等讨论了一种非线性反常扩散方程的数值解法[8]，提出了一种时间一阶，空间二阶的隐式差分格式，并利用Fourier方法对格式做了理论分析．Zhuang等利用积分的手段对一反常子扩散方程[9]进行离散，得到了一种时间一阶，空间二阶的隐式差分格式，采用能量方法给出了格式的稳定性与收敛性分析，并通过改进，提高了时间误差阶．Cui对一种分数阶扩散方程首次采用了一种紧致有限差分方法[10]，得到了一种新的空间四阶，时间一阶的隐式差分格式．Chen等考虑了一种变阶的反常子扩散方程[11]，基于Riemann-Liouville导数的Gr¨uwald-Letnikov离散以及结合四阶的紧致差分算子对空间二阶导数近似，得到了高阶隐式差分格式．作者利用一种新的积分手段，对反应-子扩散方程[12]进行离散，并使用紧致有限差分方法，提出了一种新的高阶隐式差分格式．

1 隐式差分格式

考虑一种反应-子扩散方程：

(1)

设方程(1)满足初始条件以及Dirichlet边界条件：

u(x, 0)=φ(x), 0≤x≤L;u(0,t)=φ1(t);u(L,t)=φ2(t), 0

(2)

(3)

令

则(3)式可以表示为u(xj,tk+1)=u(xj,tk) +I1+I2+I3. 对于I1，我们采用如下近似，

引理1的证明参见文献[5]．引入序列{bj},bj=(j+1)γ-jγ,j=0,1,…,N.

引理2{bj}(j=0,1,…,N) 满足b0=1，0

引理2的结论显然成立．由引理1，有

对于R11，根据Lagrange中值定理, 可得

由以上分析可以得到I1的整体近似为

对于I2，仍用类似于I1的近似方法，可得I2的整体近似为

至于I3, 我们采用梯形求积公式可得：I3=τ(f(xj,tk+1)+f(xj,tk))/2+O(τ3).

由以上可以得到如下引理．

引理3如果u(x,t) 满足引理2，则有

(4)

j=1,2,…,M-1;k=0,1,…,N-1,

(5)

定理1隐式差分格式(5)存在唯一解．

证事实上，(5)可以写成矩阵的形式：

其中

2 隐式差分格式的稳定性分析

(6)

εk(x)可以展成Fourier级数的复数形式

(7)

εk(x) 满足

(8)

(9)

(10)

定理2如果vk(m) 满足(10)式, 则必有|vk(m)|≤|v0(m)|．

证在(10)式中令k=0 ，则有

利用引理2，知0

定理3隐式差分格式(5)无条件稳定．

证由定理2以及(14)式, 有

3 数值算例

考虑下列一个带初边值条件的分数阶反应-子扩散方程

(11)

(11)的精确解为u(x,t)=extγ+2．定义上述问题的精确解与数值解的最大误差为

取不同的空间步长，时间步长以及γ,并利用隐格式(5)，计算(11)的精确解与数值解的最大误差.从表1的结果可知：该格式的稳定性好，在同步长下，精确解与数值解的最大误差随γ的增大而增大．表2与表3的结果同文中所给的误差阶较吻合．

表1 精确解与数值解的最大误差(E∞)

表2 精确解与数值解的最大误差(E∞),γ=0.2

表3 精确解与数值解的最大误差(E∞),γ=0.2

参考文献：

[1] METZLER R, KLAFTER J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach[J].Phys Rep, 2000, 339(1):1-77.

[2] MACHADO J T, KIRYAKOVA V, MAINARDI F. Recent history of fractional calculus[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011, 16(3):1140-1153.

[3] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M]. San Diego:Academic Press, 1999.

[4] LIU J Y, XU M Y. Some exact solutions to Stefan problems with fracional differential equations[J]. J Math Anal Appl, 2009,351(2):536-542.

[5] LIANG J R, REN F Y, QIU W Y,etal. Exact solutions for nonlinear fractional anomalous diffusion equations[J].Physica A, 2007, 385(1):80-94.

[6] 张颖超.用径向基函数解偏微分方程[J].湖南师范大学自然科学学报，2011，34(5)：1-6.

[7] 颜宝平.一类倒向随机微分方程的比较定理[J].湖南师范大学自然科学学报，2011，34(4)：26-28.

[8] CHEN C M, LIU F, TURNER I,etal. A Fourier method for the fractional diffusion equation describing sub-diffusion[J]. J Comput Phys, 2007, 227(2):886-897.

[9] ZHUANG P, LIU F, AHN V,etal. New solution and analytical techniques of the implicit numerical method for the anomalous subdiffusion equation[J]. Siam J Numer Anal, 2008, 46(2):1079-1095.

[10] CUI M R. Compact finite difference method for the fractional diffusion equation[J]. J Comput Phys, 2009,228(20):7792-7804.

[11] CHEN C M, LIU F, AHN V,etal. Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equation[J]. SIAM J Sci Comput, 2010,32(4):1740-1760.

[12] CHEN C M, LIU F, BURRAGE K. Finite difference methods and a Fourier analysis for the fractional reactionsubdiffusion equation[J]. Appl Math Comput, 2008, 198(2):754-769.