线性代数教学中学生创新思维的培养

皋古之

高职院校开设的线性代数理论和方法课程，无论对学生专业知识的发展与完善，还是对学生综合素质的提高和创新能力的培养，都有十分重要的作用。因此在代数教学中，必须注重培养学生的数学创新思维。

一、数学创新思维的特征

数学思维是以数和形为思维对象，以数学语言为载体，以认识和发展数学规律为目的的一种思维活动。创造性思维是一种能得到独特而有显著效果的最高层次的思维活动。数学创造性思维既从属于创造性思维又从属于数学思维，它既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是数学中发散思维与收敛思维的辩证统一，是创造性思维在数学中的体现。因此，它既具有创造性思维的特点，如独创性、灵活性、综合性，又具有深刻性、敏捷性、批判性等数学思维品质的特征。

数学创造性思维就是根据数学本身高度的抽象性、逻辑的严密性、结论的确定性及应用的广泛性等特点，去探索、突破、创新，在综合和应用已有知识、经验处理问题时，提出全新的见解和思路，发现他人未能发现的东西，解决他人未能解决的问题。

二、线性代数教学中数学创新思维的培养

数学创造性思维是各种思维形式高度统一和协调的综合性思维，产生创造性思维必须具有广博的知识、丰富的经验和良好的知识结构，具有发现问题的强烈意识和执著的探索精神。数学创造性思维能力的培养是一个长期的过程，需要在数学教学中认真探索，积极试验，逐步渗透。

线性代数是五年制高职学生三年级的选修基础课，该学科内容抽象、逻辑严密，包含有许多现代数学的基本观点和方法，与初等数学联系密切，是学生学习微积分后首先要学习的内容。学习线性代数不仅可以增加学生的数学知识，培养数学观点，为学生以后在专业课中运用数学知识和数学方法打下基础，而且对学生今后从事技术创新也有重要作用。

1.用线性代数的发展史激励学生的创新思维

线性代数许多概念的形成和结果的发现过程，都充满了几代数学家不畏艰险的创新精神、一丝不苟的科学态度和令人叹服的思想方法。如果在课堂教学中只注重对学生进行知识的传授，学生不仅会感到内容抽象、难懂，而且也很难了解这些成果产生的背景、方法和意义。如果在教学过程中结合教学内容，适当穿插一些线性代数发展的史料，介绍中外数学家的生平和成就，让学生了解线性代数的发展、演变过程，不但可以在枯燥的数学推导中增添一些情趣，活跃课堂气氛，而且也有利于学生全面理解和掌握知识。比如，在讲解“惯性基本定理”时，笔者向学生介绍定理从猜想到得到严格证明的过程，介绍数学发展史上几代数学家为这个定理所做的工作。在讲行列式时，向学生介绍马克劳林、克莱姆、范德蒙、雅可比等数学家为理论的形成和完善所做的开拓性工作。通过这样的讲解，既可以使学生了解数学家们是如何发现数学原理的，也可以激发学生学习线性代数的兴趣和欲望，激励学生的创新意识。

2.深化线性代数基本概念的教学

培养创造性思维的关键是发展学生思维的深刻性。它包含思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度和深度，它着重于透过表面现象和外部联系，揭示事物内在的本质和规律。

数学概念是数学理论和方法的基础，它不仅是数学知识的主要内容，还是进行推理判断的根本依据。数学概念的引进使得专业知识在叙述上更准确、简洁、明了。比如，n阶行列式的定义是为线性方程组的公式解服务的，它使得线性方程组的解的表达式简洁、整齐而又美观；矩阵的乘法定义使得坐标变换之间的表达简单明了，便于记忆。

数学定义是现实世界中具体对象的抽象概括。所谓抽象就是从貌似不同的研究对象中提炼出共同的属性，从而形成一个概念。例如，“线性空间”是线性代数中一个很重要的概念，对高职的学生来说这是他们遇到的第一个用公理来定义的抽象概念，也是他们第一次接触到的代数结构。如果教师一开始就完全公理化地给出概念“线性空间是定义在数域上的具有加法和数量乘法两种运算，且这两种运算满足八条算律的一个非空集合”，学生会感到太枯燥、太抽象，很难理解。可以在给出定义之前，先分析矩阵及空间向量等的运算，启发学生对事物的认识要看本质而不是只看表面形式；经过比较、分析、归纳，把这些不同对象的运算中的共同性质列出，抽掉它们的元素所表示的具体含义，最后概括出线性空间的定义；接着，再给出一些典型的线性空间的例子。比如，大家熟悉的三维几何空间R3；数域F上一元多项式环，关于多项式的加法和数与多项式的乘法作成的线性空间P[x]；数域F上全体n阶矩阵关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法作成的空间等等。通过这些例子，学生可以看到，线性空间的元素是抽象的，就一个具体的线性空间来说，其元素可以是数，也可以是向量、多项式、矩阵等；线性空间的运算也是抽象的，称为加法的运算α+β未必是通常所说的数加法，称为数乘ka的运算也不一定是通常的倍数乘法。这样深入剖析概念的本质，具体明确地提示概念产生的背景，让学生清楚概念形成的过程，意识到定义的必要性和合理性，有利于学生正确理解和把握概念的实质。只有当学生真正掌握了基本概念之后，才能继续顺利地学习新知识。

深化概念教学，通过类比、联想概念之间的异同，找出每个概念的特点，培养学生思维的深刻性，提高学生的抽象概括能力，为学生进行创造性思维打下良好的基础。

3.在传授知识的过程中注重培养学生的创新思维

随着职业教育教学改革的不断深入，线性代数不仅在教材内容上要改革，教师在教学方法上也要改革。代数作为专业的重要基础课之一，既要系统地传授基础知识，更要通过基础知识的传授来培养学生的各种思维能力，尤其是创新思维能力。

线性代数教材大多是一个演绎体系，从定义到定理再到推论，基本上是现成的结论及证明。传统的教学方法往往是教师把结论直接教给学生，只重视理论上的连续性、严谨性，不重视知识的形成及应用过程的揭示与解释，淡化了理论形成过程中的猜想、观察、实验、归纳、类比、推广、抽象等环节，不善于把过程中丰富的思维训练因素挖掘出来，不善于将知识中蕴涵的丰富的数学思想和数学方法进行抽象和概括。习题、例题的讲解过程中，也只注重解题技巧和解题模式的训练，而忽视解题思路的分析，不能很好地揭示出方法的实质和规律。这不利于培养学生的抽象、概括能力和探索、发现、创造的能力。

因此，要改革教学方法，在教学中采用灵活多样的启发式教学法和层层深入的问题式教学法，把教结论与教过程结合起来，把导致结论的思维活动充分展现出来，使学生的数学创造性思维能力得到提高。例如，在讲初等变换时，联系线性方程组的同解变形的三个形式，让学生看到矩阵的初等变换对应于线性方程组的三个同解变形。这样讲解不但可以透彻理解初等变换的概念，而且还能了解初等变换产生形成过程，使学生认识到，新问题的发现和新理论的形成，都是无数科学家运用科学的方法，经过猜想、观察、实验、归纳、类比、推广等形成的，是他们艰苦努力的结果。

总之，应在线性代数这门基础数学课的教学中，充分挖掘学生潜能，培养学生运用数学的创新思维能力，为进行专业知识学习与创新人才的培养打下坚实的基础。

（作者单位：江苏徐州机电工程高等职业学校）