关于不定方程x3+1=py2

管训贵

(泰州师范高等专科学校 数理系, 江苏 泰州 225300)

关于不定方程x3+1=py2

管训贵

(泰州师范高等专科学校 数理系, 江苏 泰州 225300)

设p是奇素数,t是非负整数,s是不超过7的非负整数,在p=3(8t+s)(8t+s+1)+1的情形下,运用初等数论的方法给出了不定方程x3+1=py2无正整数解的充分条件.

不定方程; 正整数解; 奇素数; 充分条件

0 引言及主要结论

关于不定方程

x3+1=Dy2

(1)

文[1-3]均指出,当D>2且不被6k+1形的素数整除时,它没有正整数解;当D=2时仅有正整数解(x,y)=(1,1),(23,78).但当D被6k+1形的素数整除时,方程的求解较为困难.

关于D=p为奇素数的情形,文[10]证明了x3+1=7y2仅有正整数解(x,y)=(3,2).文[11]证明了x3+1=13y2无正整数解. 文[12]证明了x3+1=103y2无正整数解. 文[13]证明了当素数p=12s2+1时,其中s是奇数,方程x3+1=py2无正整数解.文[14]证明了当素数p=3(24k+19)(24k+20)+1时,方程x3+1=py2无正整数解.文[15]证明了当素数p=3(8t+3)(8t+4)+1时,设y0=16t+7,如果y0有素因数q适合q≡3或5(mod8),则方程x3+1=py2无正整数解;当素数p=3(8t+4)(8t+5)+1时,设y0=16t+9,如果y0有素因数q适合q≡3或5(mod8),则方程x3+1=py2无正整数解.

本文证明了如下定理：

定理设素数p=3(8t+s)(8t+s+1)+1,y0=16s+2s+1,这里t是非负整数,s是不超过7的非负整数.若y0有素因数q≡3或5(mod8),则方程

x3+1=py2

(2)

当s=0,7时,无2⫮x正整数解;当s=1,2,5,6时,无2|x正整数解;当s=3,4时,无正整数解.

1 主要引理

引理1 设(x,y)=(2u,2v2-1)是不定方程

px2-3y2=1

(3)

的一组正整数解,而方程的最小正整数解为(2,y0),则y0没有素因数q适合q≡3或5(mod8).

证明见文[15].

引理2 若方程px2-3y2=1的最小正整数解为(2,y0),这里y0有素因数q适合q≡3或5(mod8),则当p≡1(mod8)时,(2)无2⫮x正整数解;当p≡3,7(mod8)时,(2)无2|x正整数解;当p≡5(mod8)时,(2)无正整数解.

证明由方程(2)得

(x+1)(x2-x+1)=py2

(4)

因为(x+1,x2-x+1)=1或3,故(4)给出

x+1=pv2,x2-x+1=u2,y=uv

(5)

或

x+1=3pv2,x2-x+1=3u2,y=3uv

(6)

或

x+1=v2,x2-x+1=pu2,y=uv

(7)

或

x+1=3v2,x2-x+1=3pu2,y=3uv

(8)

这里(u,v)=1.

对于(5),由第二式知x=0或1,均不适合第一式,此时(2)无正整数解.对于(6),由文献[16]的证明过程可知(2)无正整数解.对于(7),由第二式知u是奇数,u2≡1(mod8).当p≡1(mod8)时,pu2≡1(mod8);当p≡3,7(mod8)时,pu2≡3,7(mod8);当p≡5(mod8)时,pu2≡5(mod8).另一方面,当2|x时,x+1=v2≡1(mod8),即x≡0(mod8),故pu2=x2-x+1≡1(mod8);当2⫮x时,x+1=v2≡0,4(mod8),即x≡-1,3(mod8),故pu2=x2-x+1≡3,7(mod8).显然,当p≡1(mod8)时,(2)无2|x正整数解;当p≡3,7(mod8)时,(2)无2|x正整数解;当p≡5(mod8)时,(2)无正整数解.

对于(8),由第二式得

(9)

再将第一式x+1=3v2代入(9)得

p(2u)2-3(2v2-1)2=1.

(10)

由(10)知,(x,y)=(2u,2v2-1)是方程px2-3y2=1的一组正整数解.由引理1知,y0没有素因数q适合q≡3或5(mod8),这与引理2条件矛盾,故(2)无正整数解.引理2得证.

2 定理证明

当p=3(8t+s)(8t+s+1)+1(t是非负整数,s是不超过7的非负整数)时,有p≡3s(s+1)+1(mod8).

将p的值代入(3),易知(2,16t+2s+1)是(3)的最小正整数解,此时y0=16s+2s+1.否则,若(1,y0)是(3)的最小正整数解,则

但等式右边是两个连续正整数的乘积,显然不成立.

当s=0,7时,p≡1(mod8),根据引理2,(2)无2|x正整数解;当s=1,2,5,6时,p≡3,7(mod8),根据引理2,(2)无2|x正整数解;当s=3,4时,p≡5(mod8),(2)无正整数解.定理得证.

[1] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2?[J].中国科学,1981,24(12):1453-1457.

[2] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2?[J].四川大学学报:自然科学版, 1981, 18(2):1-6.

[3] 曹珍富. 丢番图方程引论?[M].哈尔滨工业大学出版社,1989.

[4] 潘家宇. 关于丢番图方程x3±1=Dy2?[J].河南科学,1997,15(4):379-382.

[5] 罗明. 关于不定方程x3±1=14y2?[J].重庆交通学院学报,1995, 14(3):112-116.

[6] 段辉明. 关于不定方程x3+1=38y2?[J]. 华东师范大学学报:自然科学版, 2006, 1:35-39.

[7] 段辉明. 关于不定方程x3+1=86y2?[J].高师理科学刊, 2007, 27(2):3-5.

[8] 倪谷炎. 关于不定方程x3+1=Dy2?[J]. 哈尔滨工业大学学报：自然科学版, 1999, 15(3):13-15.

[9] 瞿云云、包小敏. 关于不定方程x3+1=119y2?[J]. 西南师范大学学报:自然科学版, 2009, 34(1):9-11.

[10] 罗明. 关于不定方程x3+1=7y2?[J]. 重庆师范学院学报:自然科学版, 2003, 20(1):5-7.

[11] 王镇江,佟瑞洲. 关于丢番图方程x3+1=13y2,xy≠0?[J]. 黑龙江大学学报:自然科学版, 1991, 8(4):48-50.

[12] 瞿云云,包小敏. 关于不定方程x3+1=103y2?[J]. 西安文理学院学报:自然科学版, 2008, 11(4):36-38.

[13] 乐茂华. 关于Diophantine方程x3+1=py2?[J]. 广西师范学院学报:自然科学版, 2005, 22:22-23.

[14] 杨雅琳. 关于Diophantine方程x3+1=py2?[J]. 高师理科学刊, 2008, 28(1):41-42.

[15] 高洁,袁进. 关于Diophantine方程x3+1=py2?[J].纯粹数学与应用数学, 2010, 26(4):687-690.

[16] 牟善志,戴习民.关于丢番图方程x3±1=py2?[J].安徽大学学报:自然科学版, 2008, 32(1):18-20.

[责任编辑：李春红]

OntheIndefiniteEquationx3+1=py2

GUAN Xun-gui

(Mathematics & Physics of Taizhou Normal College, Taizhou Jiangsu 225300, China)

Letpbe an odd prime. Using elementary theory of numbers methods, a sufficient condition is obtained that the indefiniteequationx3+1=py2has no positive integer solution, wherep=3(8t+s)(8t+s+1)+1with s,t are nonnegative integers ands≤7.

indefinite equation; positive integer solution; odd prime; sufficient condition

O156

A

1671-6876(2011)04-0304-03

2011-02-25

管训贵(1963-), 男, 江苏兴化市人, 副教授, 研究方向为基础数论.