整数幂为元素的连分数的线性型下界

刘半藤，张 慧，王章蓓，戴杜斌

(1.浙江树人大学信息学院，浙江 杭州 310015；2.绍兴市中等专业学校，浙江 绍兴 312000)

整数幂为元素的连分数的线性型下界

刘半藤1，张 慧2*，王章蓓1，戴杜斌1

(1.浙江树人大学信息学院，浙江 杭州 310015；2.绍兴市中等专业学校，浙江 绍兴 312000)

对于正整数列{an}及有理数x，用连分数定义了一类函数，并给出了下界估计.

连分数；线性型；下界

0 引 言

对于x∈Q+,x>1，以连分数形式定义函数

其中a1,a2,…an是大于1的正整数，满足

记

p1(x)=1,p2(x)=xa2,pn(x)=xanpn-1(x)+pn-2(x)

q1(x)=xa1,q2(x)=xa1xa2+1,qn(x)=xanqn-1(x)+qn-2(x) (n≥3)，

以及

因此，存在常数M，使得

(1)

记

于秀源等[1-3]给出了以anx(an为正整数)为元素的连分数的对数的线性型下界估计.在此要对线性型Λ=β1f1+β2f2+α的下界进行估计，证明下面的定理.

定理设x1,x2∈N+,1

d(α)=d,h(α)=h,D=[Q(β1,β2):Q],max(h(β1),h(β2))=H，

若存在正数d0,δ，使得

(2)

成立，则当d≤d0时，有

其中n*=[Φ*(2)]+1,c1,c13为仅与x1,x2,β1,β2有关的正的常数.

1 引 理

设α是n次代数数，α=α1,α2,…,αn是α的最小多项式P(x)=anxn+…+a1x+a0的全部零点.记

d(α)=n,h(α)=max(|an|,…,|a0|),L(α)=|an|+…+|a0|,

den(α)=min(A,A∈N+,Aα为代数整数)，

den(α)≤h(α)，L(α)≤(d(α)+1)h(α).

引理1[4-5]设α和β是代数数，下面的结论成立：

1)若α的最小多项式的首项系数是ad，则

2)d(α+β)≤d(α)d(β)，d(αβ)≤d(α)d(β)；

3)max{den(α+β),den(αβ)}≤den(α)den(β)；

4)(α+β)*≤α*+β*，(αβ)*≤α*β*；

5)h(α)≤(2den(α)max(1,α*))d(α).

引理2[6]设α与β分别是次数为n和m的代数数，它们的最小多项式分别是P(x)和Q(x)，且P(β)≠0，Q(α)≠0，则

引理3假设β1,β2是在有理数域上线性无关的代数数，

H=max(h(β1),h(β2))，D=[Q(β1,β2):Q]，

则

其中c1,c2为仅与x1,x2,β1,β2有关的正的常数.

由简单的计算[1，7]得到

于是

由于

xan→∞(n→∞),qi,n-1=o(qi,n)，

于是

(3)

以及

(4)

(5)

3)由于β1和β2是在有理数域上线性无关的代数数，

(Ⅰ)由引理2，式(1)(4)(5)得

由式(3)得

(6)

(7)

由式(6)(7)即证引理3.

引理4在引理3的条件下，有

(8)

设b1,b2分别为β1,β2的最小多项式首项系数，由引理1，有

q1,nden(β1)q2,nden(β2)≤Hq1,nq2,n，

(9)

1+h(β1)+1+h(β2)≤2(h(β1)+h(β2))≤4H.

由引理1及式(9)得

h(r)≤(2den(r)max(1,r*))D2≤(2b1b2q1,nq2,n4H)D2≤(c9H3q1,nq2,n)D2≤

(10)

由式(10)及引理2，有

(11)

由式(11)及引理3，得

(12)

由式(8)(12)即证引理4.

2 定理证明

定义函数

由式(2)易知，Φ(x)单调增加趋于无穷大.以Φ*(x)表示Φ(x)的反函数.

以[x]表示实数x的整数部分，记

n*=[Φ*(2)]+1，

则Φ(n*)=Φ([Φ*(2)]+1)>Φ[Φ*(2)]=2，

3 对下界作粗略估计

即

则

[1] 于秀源，沈忠华.连分数对数的线形型下界[J].数学年刊,2009，30A(3):353-358.

[2] 王莉，于秀源.关于∏有理逼近的注记[J].杭州师范大学学报:自然科学版,2008,7(1):9-11.

[3] 徐传胜,李红婷,韩振来.数学史和数学课程整合的实现途径[J].山东师范大学学报:自然科学版,2008,23(4):128-131.

[4] Hardy G H, Wright E M. An introduction to the theory of numbers[M]. London: Oxford University Press，1981: .

[5] Gutting R. Polynomials with multiple zeros[J]. Mathematika,1967,14:181-196.

[6] 华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社，1986:264-265;270-271.

[7] 朱尧辰，徐广善.超越数引论[M].北京:科学出版社，2003:135-225.

TheLowerBoundoftheLinearForminContinuedFractionswiththeIntegerPower

LIU Ban-teng1, ZHANG Hui2, WANG Zhang-bei1, DAI Du-bin1

(1. College of Imformation, Zhejiang Shuren University, Hangzhou 310015, China;2. Secondary Specialized School of Shaoxing, Shaoxing 312000, China)

Let {an} be a given sequence of positive integers,xis a rational number. The paper has defined the function with the definition of continued fraction, and given the lower bound estimation.

continued fraction; linear form; lower bound

10.3969/j.issn.1674-232X.2011.02.005

2010-01-04

国家自然科学基金项目(10671051).

刘半藤(1984—)，男，宁波余姚人，助教，博士在读，主要从事通信工程研究.

*通信作者：张 慧(1984—)，女，浙江绍兴人,硕士，主要从事数论及其应用研究.E-mail: hs_huihui@163.com

O156.6MSC201011J68；11J82

A

1674-232X(2011)02-0114-05