函数概念的起源、演变与发展

2011-11-22李孟芹

大学数学 2011年3期

关键词：解析定义概念

李孟芹

(天津工业大学理学院,天津 300160)

函数概念的起源、演变与发展

李孟芹

(天津工业大学理学院,天津 300160)

按照时间的推进,先后论述了函数概念的起源、诞生、严密化、飞跃及其扩展.

函数;概念;起源;演变;发展

1 引言

今日的数学大厦是历经数千年、数代数学家不断建设完善的结果.其中函数概念从它于17世纪被引入以来,也伴随着数学思想的发展,经历了数次演变,逐渐从模糊走向严密.对于数学和科学来说,函数是一个最重要、最有意义的数学概念,是人类心智发展的一个重要标志[1].俄罗斯数学家亚历山大洛夫将数学分为四个基本的、本质上不同的阶段：第一阶段是萌芽时期;第二阶段是常量数学时期;第三阶段是变量数学时期.随着笛卡儿对坐标的引入,解析几何被广为接受;第四阶段是现代数学时期,集合论的诞生,为数学发展开创了一个新时代,集合成为数学的新语言[2].随着数学的发展,函数概念也经历了演变,并随之有了全新的定义,又扩展到数学的各个古老的、新兴的分支领域之中,拓扑、泛函分析、函数空间、解析数论等都是运用函数开拓出的新的数学领域.

作为最能深刻刻画现代数学发展的一个数学概念,认真地考察函数概念的起源、演变及其发展,不仅能够进一步加深对函数概念的认识与把握,也是深入了解数学思想和整个数学理论发展的重要途径.

2 函数概念的起源

对过去科学概念的确立认识,应当采用历时的方法,按照历史实际存在的境遇和观点,来研究过去的科学[3].从历史上看,函数概念的产生有以下三个来源.

2.1 科学的数学化,为函数概念刻画奠定了基础.

物理学的定量研究与描述,兴起了科学的数学化,为函数概念刻画奠定了基础.自文艺复兴以来,科学研究以认识和解释自然现象和规律为宗旨,人们在思索：既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏移而还要垂直下落到地球上?还有,斜抛物体的射程、高度及轨迹是什么?科学家的兴趣也集中在能够解释这些规律的公式上.伽利略等一大批科学家对运动和一些几何内容作了定量研究,得出了一些规律性的变量之间关系,但都是文字关系描述,如“从静止状态开始的以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用的时间的平方成正比”,“两个等体积圆柱体的侧面积之比等于它们高度之比的平方根”,这标志科学数学化的开始.他虽然没有采用字母和运算符号的表示,但已经明确出量与量之间的关系,为函数概念的内涵确定奠定了基础.

2.2 代数符号化为函数概念奠定了重要的形式基础.

从丢番图到韦达,代数学逐步走出了文字叙述式表述,已经广为接受用阿拉伯数字和字母进行运算、书写代数式和代数方程.韦达用字母表示未知量的乘幂,成为算术与代数的分界,即代数是施行于事物的类或形式的运算方式.韦达力图把代数学隐藏在几何形式下的代数恒等式建立起来[4].笛卡儿对韦达使用的字母符号作了改进,将已知量和未知量的符号作了分区：他用字母表前面的字母,如a,b,c等表示已知量,用字母表末的字母,如x,y,z等表示未知量.这已成为现今的习惯用法.数学量、运算符号等的引入,逐步使代数摆脱了文字叙述,形成了鲜明、直观、简洁的表示和运算,为函数概念的表示和形式化打下了良好的基础.

2.3 解析几何的变量概念,为函数概念的诞生提供了前提.

1637年,笛卡儿在他的《几何》中用字母表示几何作图中已知和未知的线段,并确定这些线段之间的相互关系,使同一个量能用两种方式表示出来,从而得到一个代数方程.他引入坐标系和坐标变量x,y,这样几何中的一个曲线,就对应于x,y描述的一个代数方程.这标志,笛卡儿将数学的结构从几何转到了代数,也为函数概念的诞生提供了前提[5].

3 函数概念的诞生——“变量说”

函数一词是由莱布尼兹于1673年引入的,但不是后来意义上的函数,仅仅用于表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的纵坐标、切线、法线等长度[1].

1697年,约翰·伯努利给出了函数的第一个定义：一个按照任何方式用变量和常量构成的量.1698年,他采用了莱布尼兹的说法,称这个量为“x的函数”,表示为X.1718年,他又明确定义了一个变量的函数：由这个变量和常量的任意一种方式构成的量,表示为Φx.伯努利强调的是函数要用公式来表示[4].

1797年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为：自变量在其中可以按任意形式出现并对计算有用的表达式[4].换句话说,他认为,函数是运算的一个组合.

由以上史料分析可以看出,从函数概念的引入到18世纪末,人们对函数概念的定义在不断改进,到18世纪末,函数概念的“变量说”：“函数是一些量依赖于另一些量的变化而变化的量,并且必须能用一些解析式或公式表示出来”得到了大家的普遍认可和应用.虽然此时的函数概念中已经蕴含了对应关系的意思,但仍没有明确提出函数是某种对应关系,并且函数必须能用解析式表示出来的提法也使函数概念的内涵受到了约束,因为它只是函数概念的外延.

4 函数概念的严密化——“对应说”

解析表达式的函数定义占据了18世纪的统治地位,也受到欧拉等当时一大批大科学家的推崇.从数学的角度看,用确定的解析式来表达函数是正当的要求,但问题也正出于此,函数是否必须有解析式子?是否真如有些数学家所抱怨的：能用解析式子表达的函数是“真函数”,不能用解析式子表达的函数就是“假函数”呢?

函数的解析表达式及莱布尼兹引入的关于函数、导数、微分和积分等符号具有代数化和简洁明朗的运算性,显现出比几何和其他表示的显著优越性.在以欧拉为代表的代数表达式的形式演算推动下,欧洲大陆上的拉格朗日、拉普拉斯、欧拉、柯西、伯努利家族等迅速将形式演算方法拓展到物理、力学等科学研究之中,促进了常微分方程、偏微分方程、复变函数等新领域的形成与发展,这个过程反过来也刺激了函数概念的发展,促使人们从更加严密的角度来考察它,数学分析也得到向严密化的推进.

对函数的形式演算,需要将复杂的、超越的函数展成级数.由于对振动弦的研究,提出了函数整体性质刻画的问题,而不一定都将函数表示成解析表达式,函数的概念可以描述随意画出的任意曲线(不规则函数、不连续函数等).对于过去以较简单的代数函数性质直接推广到所有函数上去的做法,引起广泛争论,引起了数学分析严密化问题,也开始了对函数概念的进一步探讨.

1807年,傅立叶在研究热传导方程时,得到了现在称为傅立叶级数的三角函数无穷级数.他称,任意函数可以用正弦函数和余弦函数的无穷和来表示.这就引起了关于周期函数、连续性、可导性、收敛性等涉及数学分析的严密性问题.1811年,傅里叶谈到了级数的收敛性.后来狄里克莱证明了：一个三角级数可以收敛于不连续函数.从此以后,函数概念不再强调纯解析表达式,为函数概念向前迈进一步奠定了基础.

比傅立叶更进一步,狄里克莱1837年给出了一个函数定义：假定a和b是两个确定的值,x是一个变量,它顺序变化取遍a和b之间的值,于是,如果对于每个x,有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应：即当x从a连续地通过区间到达b时,y=f也类似地顺序变化,那么y称为该区间中x的连续函数.而且完全不必要要求y在整个区间中按同一规律依赖于x[5].按照这个定义,即使像下面定义的f,仍可说是函数：f在x为有理数时为1,当x为无理数时为0.这就是著名的狄里克莱函数.从此,人们普遍接受：没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.这个函数的定义比傅立叶的定义有了根本性的发展,引入了现代函数概念中的两个要素：区间(即定义域)和对应.

1876年,狄里克莱的学生黎曼给出了一个一般性的函数概念：如果设z为可以取一切实数的变量,对于它的每个值对应到未定量w的唯一值,那么称w是z的函数.这个定义已经很趋于现代的函数定义了.

1879年,Frege的定义：如果在一个表达式(其含义无需探究)中,一次或多次出现一个简单或复合的符号,并且,我们认为这个符号在某些或所有出现的地方可以用其它事物代替(但各处要用同一事物代替),那么,我们称表达式中保持不变的成分为函数,可替代的部分则是这个函数的自变量[5].在这一定义中,也已隐含了现代函数概念的两个要素：定义域即定义中的可替代的部分;对应关系即定义中所说的表达式中保持不变的成分.

此后,又有许多数学家给出了函数的定义,都在强调：函数是变量间的某种“对应”关系,并且没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.

由以上史料分析可以看出,从18世纪末到19世纪后半叶,随着数学的发展,函数概念也逐渐严密化,明确了函数不只是一个变量依赖于另一个变量的变化而变化的量,能否用解析式表示也无关紧要,重要的是：变量间必须存在“对应”关系,即对于每一个x值,一定对应于一个且仅对应于一个y的值.但对于“对应”的真正含义仍不够明确,而且对于函数的概念,当时还没有一个通用的定义.

5 函数概念的飞跃——“关系说”

从19世纪70年代开始,康托尔发表了一系列文章,系统地分析和刻画了实数的连续性及无穷集合的性质,出现了连续统等问题的研究,逐步形成并诞生了集合理论.在康托尔开创了集合论理论后,由于其对于数学的基础性,成为现代数学描述的基础语言.因此,函数概念的定义再一次面临着新变化.

1887年,戴德金的关于函数的定义：系统S上的一个映射蕴涵了一种规则,按照这种规则,S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象,它成为s的映象,记作φ(s).我们也可以说,φ(s)对应于元素s,φ(s)由映射φ作用于s而产生或导出;s经映射φ变换成φ(s)[5].在这个定义中,首次用映射来描述函数,而且明确了映射中所蕴含的“规则”即对应“关系”才是函数概念的内涵,已非常接近函数的现代定义了.

1936年,布尔巴基给出了函数的现代定义：设E和F是两个集合,它们可以不同,也可以相同,E中的一个变元x和F中的变元y之间一个关系成为一个函数关系,如果对每个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满足跟x的给定关系,表示为f:E→F[8].这就是用映射来表达的现代的函数概念.

现在的大部分数学教材中函数的定义：设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为定义在X上的函数,记作f:X→Y, 通常也简记作y=f(x),x∈X,其中x称为自变量,y称为因变量,X称为定义域.

现代函数定义中,强调对应“法则”或对应“关系”f才是函数概念的内涵,而在先前的“对应说”中,没有明确“对应”的含义,它强调的是值与值之间的对应.函数的现代定义与经典定义从表述形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志.

另外,值得关注的是：现代的教材或数学书中,为什么在涉及到函数的记号时,往往y=f(x)与f:X→Y仍然同时并用?这既有沿用历史的习惯用法,但更深层地原因是,记号y=f(x)使用起来更方便,仍然用它充分体现了数学语言的工具性.

从变量与变量之间的解析式表示、变量与变量之间存在着对应到两个集合间的映射,不仅成为函数概念演变中的一个里程碑,而且是人类思维发展史上的一座金光闪闪的纪念碑.

6 函数概念的扩展与数学疆域的拓展

用集合论的语言定义函数的概念,可称为函数,也可以叫做映射.主要表示式为f:X→Y,也可以表示为f.在不同的领域或情况下,变换、算子、对应等与函数概念等价.那么,从这个意义上讲,变换、算子可以看作是函数概念在不同方面的扩展,而这些扩展,使函数概念深刻地渗入到最古老的数论、几何等领域,也拓展出一些新领域.

6.1 函数的拓展：广义函数.

20世纪二三十年代,英国物理学家狄拉克在发展与完善量子力学理论时,引入了一个δ函数[7]：它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1.他系统地使用了δ函数及其导数的概念.这一函数概念与当时的标准分析格格不入,引起数学家的很大困惑.有人声称尽管狄拉克总能得到一致和有用的结果,但狄拉克是错的[8].但由于描述质点、点电荷、瞬时源等物理中重要的理想化概念的需要,物理学家不顾批评,仍坚持对δ函数的各种运用.到1945-1948年间,在前人的基础上,施瓦兹将δ以及类似函数发展成完全严密的和有用的理论,出版了两卷本的《分布理论》,他称之为广义函数,也因此获得了菲尔兹奖.从那时起人们知道了如何对待δ,它们实质上是分布.广义函数论现已广泛地成为数学(微分方程理论)、物理学和工程领域研究的重要工具.

6.2 空间的拓展：函数空间与拓扑、泛函分析.

将函数作为空间的“点”,定义两个函数之差的测度为空间中两点的距离,就构成了函数空间,使空间拓展到抽象空间,为数学开拓出许多新疆域,如希尔伯特空间、巴拿赫空间,成为拓扑学、泛函分析等发展的基础[9].变换、同胚、算子等与函数意义相同的概念成为这些领域的重要而基本的概念.

函数空间中的不动点定理成为证明微分方程解存在的重要工具.1922年,Birkhoff和Kellogg将拓扑学中不动点定理推广到无穷维的函数空间.20世纪30年代Schauder和Ceray将函数空间的不动点定理用于微分方程解的存在的证明取得极大成功[5].

函数空间的引入,也促进了泛函分析的兴起与发展.算子可以看作是函数概念在函数空间的拓展.目前算子理论已得到了极大发展,是线性和非线性泛函分析的重要内容,成为数学中动力系统理论、群和代数的表示理论以及数学物理、量子力学、统计力学中的重要工具.

6.3 数论的拓展：解析数论.

欧拉首先提出用数学分析方法解决数论问题.在研究过程中黎曼[7]引进了著名的(x)函数,将其推广应用于素数分布,成为解析数论的重要基础.目前,由于函数等分析概念在数论中的应用,已经在数论领域中形成了素数理论及代数数论等重要的数学独立分支.

7 结束语

许多数学概念是在数学的整体演变与发展过程中,逐渐被认可、被完善的,都有一个从模糊、不严密到严谨的发展历程.从概念的追本溯源中、从概念的演变中、从过去和现代人的看法中来研究,有助于人们对数学思想和概念的认识和掌握,有助于数学观念的形成.历史分析表明,函数概念是数学发展之途中标志数学内容和形式分界性的一个基本概念和重要概念,促进了代数在数学中地位的提高,也推动了几何学的新发展.

函数概念历经数百年来的演变发展,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善和严密了,不过科学和数学的发展是无止境的,函数的概念也会随之继续扩展.

[1] 博克纳·萨洛蒙[美].数学在科学起源中的作用[M].长沙：湖南教育出版社,1992.

[2] 亚历山大洛夫[俄].数学它的内容、方法和意义[M].北京：科学出版社,2001.

[3] 赫尔奇·克拉夫[丹].科学史导论[M].北京：北京大学出版社,2005.

[4] 克莱因M[美].古今数学思想(1-4卷)[M].上海：上海科学技术出版社,1985.

[5] Dieter Ruthing.函数概念的一些定义[J].数学译林,1986,15(3)：260-263.

[6] 徐品方.数学符号史[M].北京：科学出版社,2006.

[7] 数学百科全书(1-5卷)[M].北京：科学出版社,1997.

[8] 舒茨B F[英].数学物理中的几何方法[M].上海：上海科学技术出版社,1986.

[9] 克莱因M[美].现代世界中的数学[M].上海：上海教育出版社,2004.

Origin,Evolvement and Development of the Function Concept

L I Meng-qin
(School of Science,Tianjin Polytechnic University,Tianjin 300160,China)