对一道高考题的解法探究及教学启示

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(阜阳市第三中学 安徽阜阳 236006)

对一道高考题的解法探究及教学启示

●董海涛

(阜阳市第三中学 安徽阜阳 236006)

2011年安徽省数学高考立体几何试题(文科第19题，理科第17题)，是一道受到大家称赞的试题.笔者对本题进行多视角、多方位思考，可以准确把握高考方向，即时调整教学策略，提高高三复习的有效性.

图1

题目如图1，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)证明:直线BC∥EF;

(2)求棱锥F-OBED的体积.

1 总体认识

本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.是一道背景新颖、入口较宽、解法多样、思维灵活、值得研究的题目.

2 解法探究

我们知道，证明线线平行的基本思路有:面面平行⟹线线平行、线面平行⟹线线平行、线线平行⟹线线平行，以及向量法.下面对第(1)小题进行探究,第(2)小题解法略.

思路1面面平行⟹线线平行.

依据α∥β，α∩γ,β∩γ=b⟹a∥b.

解如图2，设G是线段DA与EB的延长线的交点.由△OAB,△ODE都是正三角形，得

因此

OG=OD=2.

同理设G′是线段DA与FC的延长线的交点,得

OG′=OD=2,

于是点G与G′重合，所以B,C,F,E这4点共面.由AC∥OF,AB∥OE,可得平面ABC∥平面OEF.又BC，EF是平面ABC和平面OEF与平面BCEF的交线，于是

BC∥EF.

说明按照同样的思路，也可以在图2中先证明点G与G′重合，有点B,C,E,F共面，再证明平面OBC∥平面DEF，或者先证明点G与G′重合，有B,C,E,F这4点共面，再证明平面MBC∥平面NEF.

图2 图3

思路2线线平行⟹线线平行.

依据a∥b,b∥c⟹a∥c.

解法1如图3，设OF，OE的中点为M，N，连结CM，BN，MN,则MN∥EF.由△OAC是边长为1的正三角形，可得△ODF是边长为2的正三角形,因此

AC∥OM,AC=OM,

于是四边形ACMO是平行四边形,得

CM∥AO,CM=AO.

同理可得

BN∥AO,BN=AO，

因而

CM∥BN,CM=BN,

于是四边形BCMN是平行四边形，得

BC∥MN,

故

BC∥EF.

说明也可以在图3中设DF，DE的中点M，N，连结CM，BN，MN，或者设EF，ED的中点为M，N，连结CM,ON,MN，证明方法同上.

解法2如图4，连结AF交OC于点G，连结AE交OB与点H.由

AG∶GF=1∶2,CG∶GO=1∶2.

同理可得

AH∶HE=1∶2,BH∶HO=1∶2.

于是在△AEF中,有GH∥EF;在△OBC中,有GH∥BC,故

BC∥EF.

说明也可以在图4中连结CD交OF于点G，连结BD交OE与点H，证明方法同上.

图4 图5

思路3向量法.

依据a=λb⟹a∥b.

解法1如图5所示建立空间直角坐标系,则

即

所以BC∥EF.

说明也可以将坐标原点选择在线段OA的中点处，或者选择在点O处，或者选择在点E处，证明方法同上.

解法2利用向量的几何运算.由

∠CAO=∠FOD=60°，∠BAO=∠EOD=60°，

且正△OAC的边长为1，正△ODF的边长为2,得

思路4线面平行⟹线线平行.

依据a∥α，a⊂β，α∩β=c⟹a∥c.

本题条件所限，不宜采用此思路.

3 教学启示

3.1 注重基础知识，重视教材地位

这是一道题型常规、解法多样的中等难度的试题，总体得分却不理想.在阅卷中,笔者发现一个共性的问题：许多考生不能准确地证明B，C，F，E这4点共面，这反映了我们的数学教学还存在一些值得思考的地方.证明四点共面问题是平面性质的一个重点，人教A版必修3第53页第3题和北师大版必修3第32页第2题就是本题的母题，都是证明四点共面问题.高考题和教材习题在题型设计、证法上高度相仿，但阅卷中发现考生对此证法(统一法)并不熟悉.这说明：在教学中,师生对“双基”的认识与理解还有待加强.新课程理念告诉我们：要与时俱进地认识“双基”，我国数学教育具有重视基础知识、基本技能的传统，这是我国基础教育的瑰宝，是不能丢弃的.高考题源于教材，又高于教材，是命题的原则，对此老师们心知肚明，但在平时教学中却不愿意在挖掘教材上下功夫，总觉得教材习题难度不够，一味地在课外资料中深挖洞，造成学生“双基”不牢，很难再上一层楼.

3.2 强化通性通法，淡化特殊技巧

这是一个人人皆知的真理，按说本题思路清晰、解法常规，考生应该容易上手，但考生答题中出现的种种混乱的思路让我们不得不重提这个话题.在阅卷中发现，思路1中有相当多的考生证明了平面ABC∥平面OEF(或平面OBC∥平面DEF)之后，利用BC⊂平面ABC,EF⊂平面OEF,就得出了BC∥EF；在思路2中，有不少考生正确地证明了四边形BCMN是平行四边形之后，也回到上述错误中去了.这些典型错误都说明了考生对证明线线平行的通性通法的掌握是十分薄弱的，也是不成系统的，在考生心里没有解决这类问题的通性通法和明确的证明思路，基本属于“走到哪算哪”，这在高三复习中应引起足够的重视.

3.3 强调数学本质，提高数学素养

高考命题强调“能力立意”、“在知识网络的交汇点处设计问题”.也就是说以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考查学生进一步学习的潜能.本题的解法既有几何的综合推理，又有向量的计算说明;既考查了考生的空间想象能力，又体现了空间向量在证明立体几何中的优越性.只有多角度、多维度地将知识综合起来，才能达到融会贯通，提高素养.数学教学的根本目的是培养学生的思维，提高其思维品质.思路2中的解法2以及思路3中的解法2都反映了考生思维的简洁性、灵活性和变通性，体现了良好的思维品质.在数学教学中，永远不要指望靠穷尽题型、搞题海战术来达到学生数学思维品质的提升和数学素养的提高.只有扎扎实实地搞好概念教学，高度重视双基教学，认认真真体会课改理念，才是本原的数学教学，才能切实提高学生的思维品质，达到数学教学的真谛.

3.4 领悟课程理念，指导数学教学

2011年是安徽省数学高考自主命题的第3年，也是受到非议的一年.对于本题，无论是题型背景，还是设问形式，都折射出新课程理念.首先，题型常规，源于教材，又高于教材;其次，设问平稳，重点突出，考查了立体几何的重点知识，体现了新课改与时俱进地认识双基的理念；再次，注重通性通法，不强调特殊技巧，体现了“构建共同基础，提供发展平台”的基本理念；最后，解法发散，体现了思维的多样性发展，体现了新课程提倡各类学生都能在数学思维上有个性化发展的理念.在阅卷中,发现部分考生的思路2中的解法2以及思路3中的解法2，不禁拍案叫绝.高三教学的有效性问题一直是大家讨论的热门话题，但愿本题折射出的课改信息能为这个话题的讨论提供一个视角.