回归基础 淡中见隽——评析2011年新课程高考函数与导数试题

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(学军中学 浙江杭州 310012)

回归基础淡中见隽
——评析2011年新课程高考函数与导数试题

●郑日锋

(学军中学 浙江杭州 310012)

1 试题概述

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，其思想方法贯穿于高中数学课程的始终，是高中数学的主干知识.导数进入中学数学教材之后，给传统的中学数学内容注入了生机与活力，为中学数学问题(如函数问题、不等式问题、解析几何问题等)的研究提供了新视角、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间.

2011年全国各地新课程高考数学试卷共13套25份，涉及函数与导数的题目中，理科客观题有29道，解答题有12道；文科客观题有35道，解答题有14道，分值占总分的20%左右.试题既考查了函数的基本性质、函数的零点问题、导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，又考查了函数、导数与其他内容的综合，以及化归思想、分类讨论思想、数形结合思想及推理论证能力.

在2011年数学高考试卷中，涉及函数与导数部分的解答题除江苏卷(文、理合卷)外，难度差异明显.文科试题大多是由理科试题通过数值化、特殊化等问题改编而成，从而降低了对文科学生的考查要求.试卷正视文、理科学生在数学学习内容、学习要求、学习能力等方面的差异，准确定位各自的考查内容和目标.

2 命题特点和知识类型

2．1 命题特点

试卷充分考虑了解题方法的大众化与常规化，不在冷僻的技巧上设置问题，努力贴近学生在通性通法上下功夫，试题中规中矩、不偏不怪.绝大多数题目材料背景熟悉、设问方式常规、解题方法基本、和平时教学匹配度高.在考基础、考通性、考通法上体现得浓墨重彩、淋漓尽致.

在选择题、填空题中考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、函数的图像、导数的几何意义、导数的简单应用等.在解答题中,主要考查导数的综合应用，如利用导数求函数的单调区间、求函数的极值、最值，及利用导数证明不等式等.

各份试题贴近基础知识、基本技能、基本数学思想方法，不偏不怪，客观题除个别省份较难外，其余省份都属容易题、中档题，解答题突出综合性，呈现出“入手容易、阶梯递进、拾级而上”的特点，体现了“回归基础、淡中见隽”的特色.

2．2 考查的知识类型

2．2．1 函数的定义域、值域

( )

A．(-∞,-1) B．(1，+∞)

C．(-1,1)∪(1,+∞) D．(-∞,+∞)

(2011年广东省数学高考文科试题)

xgt;-1且x≠1.

故选C.

例2已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为

( )

C．[1,3] D．(1，3)

(2011年湖南省数学高考文科试题)

解由g(b)属于f(x)的值域，得

-b2+4b-3gt;-1，

解得

故选B.

2．2．2 函数的零点

( )

(2011年天津市数学高考理科试题)

2．2．3 函数的图像

( )

A. B.

C. D.

(2011年山东省数学高考文、理科试题)

2．2．4 函数的性质

例5设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

( )

A．f(x)+|g(x)|是偶函数

B．f(x)-|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|+g(x)是偶函数

D．|f(x)|-g(x)是奇函数

(2011年广东省数学高考理科试题)

分析由f(x)是偶函数、g(x)是奇函数，得|f(x)|和|g(x)|都是偶函数，因此f(x)+|g(x)|与f(x)-|g(x)|都是偶函数，而|f(x)|+g(x)与|f(x)|-g(x)的奇偶性不能确定.故选A.

2．2．5 抽象函数

例6设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)=x-g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[-10,10]上的值域为________．

(2011年上海市数学高考理科试题)

解由g(x+1)=g(x)得，将f(x)在[3,4]上的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到f(x)在[4,5]上的图像，依次类推，将f(x)在[3,4]上的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到f(x)在[2,3]上的图像，依次类推，可得f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11].

2．2．6 分段函数

( )

A．[-1，2] B．[0，2]

C．[1，+∞) D．[0，+∞)

(2011年辽宁省数学高考理科试题)

解由条件可得

解得x≥0.故选D．

2．2．7 函数的最值

例8设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为

( )

(2011年湖南省数学高考理科试题)

解由题意知|MN|=x2-lnx(xgt;0)，不妨令h(x)=x2-lnx，则

令h′(x)=0,解得

2．2．8 导数的几何意义

例9曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为

( )

(2011年江西省数学高考文科试题)

分析y′=ex,x=0,e0=1,故选A．

2．2．9 函数与导数的综合问题

(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；

(2)设数列{an}(n∈N*)满足a1=a(agt;0)，f(an+1)=g(an)，证明：存在常数M,使得对于任意的n∈N*，都有an≤M.

(2011年湖南省数学高考理科试题)

分析(1)由观察法与二分法思想得x=0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点，再通过研究h(x)的单调性，得h(x)有且只有2个零点．

(2)设h(x)的正零点为x0，分2种情况:①当alt;x0时，归纳并证明a0lt;x0(任意n∈N*)；②当a≥x0时,同样归纳并证明an≤a(任意n∈N*)．

综上所述，存在常数M=max{x0,a}，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M.

本题是函数、导数与数列的综合问题，综合程度较高，需要考生有较强的数学素养和功底．

3 亮点扫描

2011年各地数学高考试题充分体现了在稳定中寻求变化、在变化中追求创新的思想．

3．1 解法多样——巧法与通法相得益彰

例11设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R.

(1)若x=e为y=f(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

分析第(1)小题比较容易解决.由f′(e)=0，可求得a=e或a=3e.再检验．第(2)小题是通常的含参数不等式恒成立求参数范围问题，注意到当x∈(0,1]时不等式恒成立，因而等价于当x∈(1,3e]时，不等式(x-a)2lnx≤4e2恒成立．

思路1(命题者提供的解答)先特殊化，由f(3e)≤4e2，得实数a的取值范围为

再求f(x)的最大值，为此研究f(x)的单调性，而又需构造辅助函数，通过估计零点，从而解决问题，但解题过程曲折繁冗．

本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用、不等式等基础知识，同时考查推理论证能力和分析、解决问题的能力.3种解法的共性是都利用了化归思想与函数思想，但转化的手段迥异，思路1直接转化为求f(x)的最大值，思路2则通过变形(参数分离)转化为求2个易求最值的函数的最值，思路3则通过恰当变形转化为2个图像的关系.很多省份的导数压轴题都有不同的解法，旨在考查不同思维层次的考生的不同思维水平，使试卷具有较高的区分度.

3．2 数学建模——彰显函数应用

图1

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r.

(2011年山东省数学高考理科试题)

解(1)根据圆柱与球的表面积、体积公式，可得

本题是实际生活中的优化问题.试题贴近学生的生活实际，旨在考查学生从实际问题中抽象出函数模型及利用导数解决问题的能力，反映了数学在实际生活中的应用，激发了学生学以致用的求知欲和成就感.

3．3 知识交汇——凸显综合能力

例13已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为

( )

A.4 B.3 C.2 D.1

(2011年上海市数学高考理科试题)

而此方程有4个实数根.故选A.

导数的应用十分广泛，它不仅可以解决函数问题，还可以与数列、不等式、三角函数、解析几何、立体几何综合.例如江西省数学高考文科试题第18题是导数与立体几何的综合，湖南省数学高考理科试题第22题、福建省数学高考理科试题第10题是导数与数列的综合.

3．4 立意高远——甄别选拔功能

例14设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数，如下定义2个函数(fog)(x)和(fgg)(x)：对任意x∈R，(fog)(x)=f(g(x))；(fgg)(x)=f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是

( )

A．((fog)gh)(x)=((fgh)o(ggh))(x)

B．((fgg)oh)(x)=((foh)g(goh))(x)

C．((fog)oh)(x)=((fog)o(goh)(x)

D．((fgg)gh)(x)=((fgg)g(ggh)(x)

(2011年广东省数学高考文科试题)

分析对选项B，

((fgg)oh)(x)=(fgg)(h(x))=

f(h(x))g(h(x))，

((foh)g(goh))(x)=(foh)(x)(goh)(x)=

f(h(x))g(h(x)).

故选B.

例15已知函数f(x)=ex+x，对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的3个点A,B,C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形，其中正确的判断是

( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

(2011年福建省数学高考理科试题)

画出图像，可得△ABC一定是钝角三角形，不可能是等腰三角形.故选B.

例14是高等数学背景下的阅读理解题，类似的阅读理解题还有浙江省数学高考理科试题第10题、江苏省数学高考试题第19题.例15是函数凹凸性的简单性质.许多函数与导数试题立意高远、内涵丰富，强化了数学素养和能力的考查.

4 复习对策

4．1 理解数学的本质

在平时的教学中，要立足于教材，重视教材的使用.双基的落实是在一点一滴的潜移默化之中的，要精选习题、注重通性通法、突出思维能力和运算能力，及时引申拓展、培养归纳能力.

函数的定义域、值域、函数的基本性质、图像问题应熟悉其基本知识及基本策略和基本数学思想方法.在复习时，将这些基本知识、基本方法联系起来，完善认知结构，达到举一反三、融会贯通的效果.

函数的零点问题是高考考查的热点.解决这类问题的关键是通过合理的变形转化为一个方程的实数根的问题，然后借助于二分法和数形结合思想，或一元二次方程实根的分布解决问题，体现了解决函数问题的基本思想.

利用导数可以解决函数中的三大问题：求函数的单调区间、求函数的极值、求函数的最值.其他问题如不等式证明、含参不等式有解、含参不等式恒成立等问题也是高考考查的热点，解决这些问题需要构造恰当的辅助函数，转化为三大问题.

只有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出概念的理解和运用，突出思维能力的培养，才能真正提高学生的数学素质.教学中应做到“三性”，即对知识理解的深刻性、掌握的全面性、运用的灵活性，以使学生形成综合性的知识体系.

4.2 培养探究能力

只有在课堂上适度地让学生探究，才能让学生适应高考的新问题.导数问题在很多省份的高考试卷中处于压轴题的位置，需要考生在新的情景中灵活运用知识、方法解决问题，对学生的数学能力和数学素质提出了很高的要求.这昭示我们：高三数学复习应注意培养学生对问题分析的态度及探究的目光，从人的可持续发展所需要的能力来看，这是十分必要的.在教学中,引入条件或结论具有开放性的问题和某些从实际生活中提出的自己寻求答案的问题，或者对课堂上的某些问题适当加以延伸、推广等，并引导学生加以解决，这会使课堂教学充满生机和活力，有利于学生思维能力得到提升.