平淡中有新意 平和中显功力——2011年浙江省数学高考理科试题评析

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(元济高级中学 浙江海盐 314300)

平淡中有新意平和中显功力
——2011年浙江省数学高考理科试题评析

●卢明

(元济高级中学 浙江海盐 314300)

1 试卷概况

2011年数学高考结束后，理科考生的心态普遍比较平和．试卷严格遵循浙江省《考试说明》，全面考查了高中数学基础知识、基本技能和基本方法，多角度、多层次地考查了学生的数学素养和能力．在难度设置上，继承了往年分步设问、分散难点的做法，各类题型力求从易到难、阶梯推进，给人以“入手容易、拾级而上、分步递进”的感觉．试卷充分体现一个“稳”字，追求一个“进”字，凸显一个“新”字．

1．1 继承风格，坚守平稳

高考命题的稳定有利于教学的稳定．2011年的理科数学卷延续了以往的结构、长度、题型题量和分值等“浙江风格”.

无论是知识点的覆盖还是试题难度的分布都充分体现了一个“稳”字．但2011年的选择题适度减少了容易题，增加了中档题；填空题难度较2010年有所下降；解答题的第19题将概率题换成了数列题．从阅卷抽样分析看，2011年的选择题平均得分与2010年基本持平，填空题平均得分为16分，比2010年高5分左右，解答题的平均得分总体低于2010年，其中第20,21,22题平均得分分别为9,5.9,3分，2011年填空题与解答题合起来平均得分在51分左右，约比2010年高3分．

1.2 简明规范，清晰流畅

一道好的数学试题表述应该简洁、明了，长度适中，不给考生在理解题意上造成太多的困难，不让考生在读题上花过多的时间，不因试题表述不清或太长给考生答题造成思维、心理上的障碍．2011年的试题在表述方面比2010年做得更好，兼顾了数学学科要求和考生的心理特点，让考生看得明白，做得踏实．

1.3 重视基础，引领教学

试题重视对基础知识和通性通法的考查．试题的呈现和解答注重常规思路和基本方法．基础题主要考查最基本的概念，中档题一般在知识的交汇点处考查主干知识，而有一定难度的题目则需要数学思维能力很强的考生才可能做好．尽管有的题目用通性通法解不一定是最佳方法，但至少熟练掌握了通性通法后能够使问题迎刃而解，较好地体现了以知识为载体、以方法为依托、以能力为导向的命题指向．命题严格按照《考试说明》，做到不超纲、不打“擦边球”．命题背景公平，难度在中等及以上的题目大多坚持原创，避开陈题，如第5,7～10,14～19,21,22题等．

试题重视中学数学基本数学思想和方法的考查，将对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行.下面以第16题为例加以说明：

例1设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________．

(2011年浙江省数学高考理科试题)

解法1令2x+y=t，则y=t-2x,代入已知条件，并化简得

6x2-3tx+t2-1=0.

因为x为实数，所以

Δ=9t2-24(t2-1)≥0，

即

于是

点评以上使用的“换元法”和“判别式法”都是数学的一般方法，“等价转换”是中学最主要的四大数学思想方法之一．

解法2由条件得

(2x+y)2=1+3xy=

即

点评以上解法首先用“等价转换”思想将问题进行转化，即要求“谁”的最值先构造关于“谁”的不等式；然后用配方法、基本不等式构造关于“2x+y”的不等式．配方法、基本不等式法是数学的一般方法．

以上2种解法均属于通性通法．此外，本卷将数学思想方法的考查贯穿于各类题型的考查之中，重要的数学思想方法反复考.例如数形结合思想(第1,5,8,11,14,17等)、等价转换思想(第6,9,10,16,18,19,21,22等)、函数与方程思想(第1,5,7,8,10,17,22等)、分类讨论思想(第9,10,19,22等)．这种具有浙江特色的命题理念和方法，对中学数学教学必将产生良好的导向作用．

1．4 入口宽泛，凸显能力

1.5 质朴无华，彰显功力

绝大多数题目材料背景熟悉、设问方式常规、解题方法基本，给人以“题在书外、根在书中”的感觉．例如第18题考查了正、余弦定理的应用，第19题考查了等差、等比数列基本量的计算及裂项求和等基本方法；第20题直接给出一个三棱锥，考查线、面关系和二面角等基础知识；第21题考查抛物线的几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系．解题思路和方法是常规的，然而要顺利解答需要深厚的基本功.要深入彻底地解决问题，需要有灵活的运算和思维能力、扎实的数学素养及战胜困难的勇气．如：

2 几点思考

2011年浙江省数学高考理科试题基本实现了命题组的预期目标，平均分达到了88分．但是，考生在答题中所暴露出来的一些问题不得不引起我们的思考．

2.1 对中学数学教学的建议

2.1.1 研究学情，加强基础

阅卷中发现不少考生在常规题的解答上出现错误较多，仔细分析，原因是多方面的．随着高中教育的普及，普通高中的生源结构发生了较大的变化，有不少学生在学习态度、学习习惯、学习方法等方面存在问题，表现为记忆习惯差、又懒得记;基本公式、定理掌握不牢固；性情浮躁、眼高手低，数学运算能力低下且不愿意主动改进；初、高中教材不对接，数学知识脱节的情况相当严重，初中数学新课程降低了因式分解、分式运算、等式变形、解方程等教学要求，削减了二元二次方程组解法、韦达定理、判别式、以及许多平面几何的重要定理，而这些知识又是高中数学学习所必需的重要基础．上述新情况的出现，使得“加强基础”不再是一个简单的“双基”问题，而是一项系统工程，它还包括初、高中知识的衔接，良好的学习态度、学习习惯的养成、学习方法的指导等等．

2.1.2 注重思维品质的培养，关注学生的发展

考生在解第18题时，没能从等式“sinA+sinC=psinB(p∈R)”中得出“pgt;0”这个隐含条件，一种原因可能是粗心，但更多的则是思维品质缺陷．思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性这5个方面．其中，深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平；灵活性是指思维活动的灵活程度，包括：思维起点灵活、思维过程灵活、概括迁移能力强、善于组合分析等；敏捷性是指思维的速度，能够积极地应对变化，周密思考并作出正确的判断．数学教学承载着培养和发展学生思维品质的重任，这是数学课程最重要的价值之一．数学课程培养学生思维品质的主阵地在课堂，教师可以在探索概念的形成过程中培养学生思维的严谨性和独创性，在探索一题多解的过程中培养学生思维的灵活性，在探索问题的隐含条件过程中培养学生思维的深刻性，在问题的正误辨析过程中培养学生思维的批判性和敏捷性．逐步扭转当前中学教学中存在的“死教书、死做题，重知识、轻思想”现象．

2.1.3 重视通性通法教学，领悟常见的数学思想与方法

数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是一种数学意识，属于思维的范畴．高中数学思想主要有数形结合、函数与方程、分类讨论和等价转换．数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．高中数学常见的数学方法有待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等．中学数学教学应该重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一种“思想”或“方法”对于解决什么样的问题是有效的，从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力．

2.2 问题探讨

2.2.1 对试卷改进的建议

2011年的浙江省数学理科试题计算量偏大，考生普遍反映时间不够．其中第8,15,17这3个小题难以做到“小题小做”，第18,20,21,22题均超过2010年试题的运算量．运算求解能力虽然是数学要培养的重要能力，但是，它毕竟只是低层次的思维能力，建议今后对运算量有所控制，给考生预留更充分的思考时间．此外，关于试卷结构的问题，浙江省数学高考卷近几年的解答题一直是5个大题，如果能将“五大题”改为“六大题”，则更有利于中学教学的导向．

2.2.2 关于初中数学现行教材内容的调整

目前，初中数学新课程中一些被降低教学要求和被削减了的内容，恰恰是高中数学所必需的基础知识.初中不学，必然要让高中教师去补．何时去补？课时从哪里来？矛盾很大．而初中数学新增的一些内容，如概率、统计、三视图等，这些内容学生在进入高中以后又会安排专门的课程进行系统学习，这种重复教学虽然符合“螺旋式上升”的特征，但是究竟有没有必要？这需要教育行政部门、教研部门和一线教学专家一起认真反思，仔细研究．笔者个人认为：初中教材必须同高中教材实现无缝对接，形成一个整体，要避免初中没学，高中要用，高中课程中又没有教学计划的“空白现象”的出现．惟有这样，才能更好地保证中学数学课程的结构性和有序性．

一份高质量的数学试卷，无论是对考生水平的正常发挥，还是对高校人才的选拔，乃至对中学数学教学的导向都至关重要．命制一份好的高考数学卷不容易，不仅需要命题组专家的创造性工作，也需要广大中学数学教师积极地建言献策．