Dirichlet级数与随机Dirichlet级数在半平面内的增长性

岳 超,孙道椿

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

Dirichlet级数与随机Dirichlet级数在半平面内的增长性

岳 超,孙道椿*

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

采用Knopp-Kojima的方法,研究了Dirichlet级数与随机Dirichlet级数在右半平面内的增长性,得到了级由系数表示的充分必要条件.并且得到了随机Dirichlet级数在右半平面内的级与任意水平半带形内的级在一定条件下几乎必然相等的结论.

Knopp-Kojima方法; 随机Dirichlet级数; 级; 水平半带形

1 Dirichlet级数在半平面内的增长性

考虑Dirichlet级数:

(1)

如果[k,k+1)∩{n}=,那么令∞.

下面给出Dirichlet级数的Knopp-Kojima公式.

引理1[6]对于级数(1),有

对于级数(1),若σu=0,则级数(1)是右半平面内的一解析函数.当σ>σu=0时,令

,t

并定义它在右半平面内的级为:

引理3[6]设{an}和{bn}是2个复数列,那么对于任意的自然数k和n,

其中Anj=an+an+1+…+an+k.

其中K(ε)是一个与ε和f(s)有关的正数.

于是当σ>0时,

于是就得到了不等式的左边.

下面证明不等式的右边.设nk+p

从而,当σ>0时,

因此

从而

其中K1(ε)是一个与ε和f(s)有关的正数.对上不等式两边同乘以4eσ,令K(ε)=4K1(ε)即得结论.

推论1 对于级数(1),在定理1的条件下,则

引理4[6]设p>0,σ>0及>0,

(1)σ-p+σ,当σ=时达到极小值

定理2 设Dirichlet级数(1)满足σu=0,则

证明考虑ρ<+∞的情形.先证上式右端是函数f(s)在右半平面Re(s)>0内有级ρ的必要条件.由推论1,∀ε>0,当σ>0充分小时,对任意的正整数k,

其中C是和σ无关的正常数.于是

这与所设矛盾,因此在ρ<+∞的情形,就证明了f(s)在右半平面Re(s)>0内有级ρ的必要条件.不难看出所证明的f(s)有级ρ的必要条件也是充分条件.在ρ=+∞的情形可类似作出证明.

2 随机Dirichlet级数在半平面内的a.s.增长性

考虑概率空间(Ω,,P),其中Ω=[0,1],是由[0,1]上的所有Lebesgue可测集E组成,而P[E]就是Lebesgue测度.引用文献[7]的Ramdemacher函数序列{εn(ω)}及Steinhaus函数序列{γn(ω)} (n=0,1,2…),其中γn(ω)=exp(2iϑn(ω)).这两序列分别可看做(Ω,,P)上的独立随机变量序列,并且

ϑn(ω)的值在[0,1]上均匀分布.

考虑随机Dirichlet级数:

(2)

以下就f1(s,ω)的情形给予讨论,f2(s,ω)情形可完全类似给出.与随机级数(2)对应的Dirichlet级数仍记为式(1)的形式.

[k,k+1)∩{n}={nk,nk+1,…,nk+pk}≠,

(3)

若[k,k+1)∩{n}=,则令a.s.

并在右半平面内定义级数(2)的级为:

因为{εn(ω)}是独立的随机变量序列,所以ρ(ω)几乎必然是一常数,记为ρ.

级数(2)在任意水平半带形内的级表示为:

其中α,β(α<β)为任意实数.

首先由引理2得到下面的推论:

引理P-Z[8]设E是Ω中满足P[E]>0的任何事件，则可选取N=N(E),使得对任何的数N′>N,有

而无论复数cn为何.

证明必要性:由定理2,只需证明

首先证明ρ<+∞时的情形.由推论2,得

则对任意的ε>0,当σ>0充分小时,M(σ,ω)≤exp{σ-(ρ+ε)},a.s.,由随机变量序列{εn(ω)}的定义,得

|an|e=|anεn(ω)|e,a.s.

(4)

所以

|an|e=|anεn(ω)|e≤m(σ,ω)≤

M(σ,ω)≤exp{σ-(ρ+ε)} a.s.

(pk+1)exp{σ-(ρ+ε)},

即

由引理4,得

由引理2,得

由引理4,得

证明设上式左边上极限为ρa.s.,当ρ=0时,上式显然成立.下设0<ρ≤+∞,显然有

成立.由推论2,对区间(α0,β0)⊆,则下面不等式依然成立,即

从而

从而

上述的N=N(E)是按照引理P-Z选定的,于是当σ>0时,

又由于级数(2)在右半平面内绝对收敛,从而

(σ>0),

所以当σ为充分小的正数时,

从而，当σ>0充分小,n≥N时,

|an|e≤3exp{σ-ρ′}.

3(pk+1)exp{σ-ρ′},

与定理的条件相矛盾,从而假设不成立,即

定理4得证.

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SUN Daochun.The order of Dirichlet series[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2001(3):14-19.

[4] 霍颖莹,孙道椿.随机Dirichlet级数的级[J].华南师范大学学报:自然科学版,2006(4):32-35.

HUO Yingying,SUN Daochun.The order of random Dirichlet series[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2006(4):32-35.

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[6] 余家荣,丁晓庆,田范基.Dirichlet级数与随机Dirichlet级数的值分布[M].武汉:武汉大学出版社,2004.

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[8] PALEY R E A C,ZYGMUND A.On some series of functions (3)[J].Proc Camb Phil Soc,1932,28:190-205.

Keywords： Knopp-Kojima method; random Dirichlet series; order; horizontal half zone

【责任编辑 庄晓琼】

THEGROWTHSOFDIRICHLETSERIESANDRANDOMDIRICHLETSERIESINTHEHALFPLANE

YUE Chao, SUN Daochun

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

By the method from Knopp-Kojima, the growths of Dirichlet series and random Dirichlet series in the right half plane are studied. The necessary and sufficient conditions of the orders, which are expressed by the coefficients, are obtained.It is shown that the growth of random Dirichlet series in the right half plane is almost the same as what in the horizontal half zone under some conditions.

2009-11-12

国家自然科学基金项目(10471048)

* 通讯作者，sundch@scnu.edu.cn

1000-5463(2011)02-0023-05

O174.5

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