中厚板弯曲时应力中性层位置的求解

宋 涛 桂海莲 周存龙

(太原科技大学机电学院，陕西 030024)

中厚板在塑性弯曲时，一般以应变中性层为分界，认为外层受拉，内层受压，使得中性层向内移动。在实际应用过程中，虽然许多文献都指出了应力中性层和应变中性层是内移的，但关于应力中性层和应变中性层内移量的大小，至今还认识不清。深入的探讨中性层，对正确计算弯曲变形中的应力、应变及进一步认识中厚板矫直机理有一定的理论意义。中厚板在弯曲时，在材料截面上，有3 条中线:一条是几何中心线，位于断面的二分之一处;一条是应变中性层，指沿着纤维方向应变为零的中性层;一条是应力中性层，是指切向应力为零的一层纤维层。很多文献都认为中厚板在弹塑性变形过程中应力中性层和应变中性层向内移动，同时应力中性层和应变中性层是不重合的，并且用传统理论求得的应力中性层是不连续的。但中厚板在弯曲量不大时，虽然材料发生了塑性变形，但材料本身仍然是一个连续体，应力变化不应该产生阶跃现象，应该仍然是一个连续函数［1，2］，那么中厚板必然存在一个切向应力σ0=0 的应力中性层。本文通过对中厚板弹塑性弯曲应力的分析，对弹性区和塑性区分开处理，并利用mises 屈服准则及屈服应力呈线性变化来求解应力中性层。

1 中厚板弯曲后屈服应力呈线性变化时应力中性层求解

1.1 三点假设

在中厚板弯曲过程中，随着力矩的增大由于材料的线性硬化，使得中间是弹性区，两边是塑性区，为了推导公式方便，假设:

(1)中厚板在弯曲时的切向应变的硬化效果与材料单向拉深和压缩的效果相同。由于中厚板弯曲时，弯矩量不是很大，上下表面的塑性层向里延伸的不深，为方便计算，以近似直线代表塑性层屈服应力的变化。

(2)中厚板弯曲时变形区仍为平面，符合平截面假设。

(3)中厚板弯曲后，厚度方向的改变很小，认为厚度方向没有变化。

1.2 求解中厚板弯曲时应力中性层的方程建立

对厚度为t 的中厚板两边加上弯矩M 后(如图1)，板料开始弯曲。板料分成塑性层和弹性层，计算应力中性层时先分别计算中厚板弹性区和塑性区应力，最后联立求得待定系数来求解。

(1)对于材料进入到屈服时，中厚板只是上下表面进入塑性屈服状态，而中间仍是弹性状态时，则利用微分体平衡方程和协调方程［3］有:

式中 σr——中厚板弯曲时径向应力;

σθ——中厚板弯曲时切向应力;

ρ——弯曲半径;

A、B、C——为待定系数。

用Mises 屈服准则可得出，在弯曲时下表面处最先屈服，然后塑性层由上下表面迅速向里延伸。

(2)中厚板进入屈服后，中间为弹塑区，而上下表面为塑性区(如图1)，上下表面的塑性区在e1和e2分界。在塑性区，为简化计算，根据假设中厚板线性硬化时的屈服应力［4，5］:

式中 σ0——板料在弯曲时大变形段近似直线在纵坐标的截距;

E——板料在弯曲时大变形段近似直线的硬化模量;

ε——真实应变。

图1 中厚板弯曲后切向应力分布Figure 1 Distribution of tangential stress after medium and heavy plate bending

在塑性区取微分体后，有平衡方程

塑性区的边界条件σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，σr|ρ=a=0，σr|ρ=b=0

联立式(3)、式(4)、式(5)和塑性层的边界条件，可以解得上表面拉伸塑性区的切向应力为:

下表面压缩塑性区的切向应力为:

(3)同时联立弹性区和塑性区的径向力和切向力以及以下的边界条件和平衡条件=0，σθ|ρ=e2=σ0，σθ|ρ=e1=－σ0，有

联立式(10)、式(11)、式(12)可以解得弹性区σθ的待定系数。令σθ=0，这样可以得到应力中性层的位置，其中m=

2 结论

通过上述讨论，可以得到以下结论:

(1)应力中性层的位置与中厚板中心层的位置之差随着弯矩的增大而增大。

(2)从中性层的公式可以看出，影响中厚板中性层位置的主要因素是a、b、t 等，弯曲后的形状直接影响甚至决定了中性层的位置。这主要是中厚板弯曲后为了方便计算，运用常用的平截面假设，这样中厚板截面形状由变形前的长方形截面变成了弯曲后的规则的扇形截面。这与实际中厚板弹塑性弯曲时是有差别的，这样运算的结果也极大的影响了应力中性层位置的准确性。

(3)根据弹性区和塑性区的径向应力计算结果可以得出内层和外层应力分布是根本不对称的，这也是导致了应力中性层内移的直接原因。

(4)根据中厚板弯曲时的力矩和形状，基本可确定中厚板弯曲后的挠度，那么应力中性层的位置也就确定。应力中性层的偏移相对于中厚板板厚来说不是很大，如果不是精确计算，可以不考虑。

［1］肖景容，姜奎华.冲压工艺学.北京:机械工业出版社，1994.

［2］官英平.中性层内移对弯曲回弹的影响［J］.锻压技术，2007，32(2):26－28.

［3］刘鸿文.材料力学.2.下册.北京:高等教育出版社，1991.

［4］刘庚武.宽板弯曲时线性硬化应力中性层位置的求解［M］.模具技术，2008(5):5－10.

［5］官英平.板料弹塑性弯曲应力应变中性层位置关系探讨.2009，9(2):39－41.