高等代数课程教学思考

2011-11-08李小新

池州学院学报 2011年6期

关键词：池州初学者代数

李小新，高芳

（池州学院数学计算机科学系，安徽池州 247000）

高等代数课程教学思考

李小新，高芳

（池州学院数学计算机科学系，安徽池州 247000）

针对高等代数课程理论抽象、学生对其缺乏兴趣这一问题,结合教学实践，提出及时总结课程中的重要数学思想和方法、直接指出抽象理论的数学实质、运用类比法来讲授抽象理论等一系列的方法，以使学生快速理解并掌握抽象的理论知识，提高学习兴趣。

高等代数；抽象理论；类比法

高等代数是数学专业的一门重要的基础课，由于其概念多、理论高度抽象，常使初学者在学习时心存畏惧、缺乏兴趣。在高等代数课程的教学中，如何让学生快速理解并掌握抽象的理论知识，提高他们学习高等代数的兴趣成为摆在授课教师面前的一个重要课题。很多文献就此展开了探讨，例如[1-3].下面笔者结合多年的教学实践，以北京大学编写的高等代数教材[4]为例，谈一谈在这方面的几点体会。

1 及时总结课程中的重要数学思想和方法

在高等代数课程中，蕴含着许多非常重要的数学思想和数学方法，初学者在学习时一般只注重其表面知识，很难挖掘这些知识背后所埋藏的宝贵财富。因此，授课教师应该带领学生及时提炼、总结，真正将知识转化成能力。

（1）在讲解某些知识点时，高等代数很注重将一般情形转化为特殊情形。例如在求矩阵的秩时，按照定义，矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数,如果按照定义来求秩，对于一般的矩阵，无疑计算量太大，因此课本先介绍了行阶梯形矩阵的秩的求法，只要数非零行的行数就可以了，然后指出初等变换不改变矩阵的秩，从而就可以用初等变换的方法，将一般的矩阵转化为行阶梯形矩阵来求秩。这种方法同样出现在二次型正定性的判定上，一般二次型的正定性判定如果按照定义是非常困难的，为了解决这个问题，课本上首先给出了标准形的判定，即只需要看平方项的系数是否都为正，并接着指出非退化的线性替换不改变二次型的正定性，因此一般二次型正定性的判定只要利用非退化的线性替换转化为标准形来判定就可以了。

（2）关于唯一性的证明，课本上多次运用了同一法。例如在证明矩阵A的逆矩阵唯一时，假设B和C都是A的逆矩阵，首先B和C是两个毫不相干的矩阵，怎么证明它们相等呢？这就需要引进桥梁E,因为E=AB=BA=AC=CA,而 B=BE,要将 B过渡到C,需要将E换AC或CA,而根据E的桥梁作用，我们选择AC，此时B=BE=BAC=EC=C,最后一步就是我们常说的过河拆桥。在证明线性空间中负元素的唯一性时，用的是完全相同的方法。如果在教学过程中及时带领学生对这两个证明所涉及的方法进行比较、总结，那学生所掌握的就不仅仅是两个性质的证明，而是一个数学方法，这种方法在今后处理有关唯一性证明时，或许会用得上，比如欧式空间的每个子空间都有唯一正交补的证明。

（3）高等代数的初学者在做练习时，都很害怕证明题，不知道从哪儿下手。对于有些很难的证明题，需要丰富知识的储备以及灵感的出现，但对于大多数简单的证明题，其证明方法往往是有章可循，如果教师不对这些方法加以总结和提炼，而是就题讲题，学生很难在短时间内掌握其精髓，因此不能举一反三，害怕也就在所难免。笔者在教学生证明完一个题目后，总是带领学生回过头来一起观察、思考，总结出做这类题目的方法。比如对有一类证明题，我们总结的方法是：证明题都是由条件推出结论，而条件中实际上蕴含有小条件和小结论，结论中也蕴含有小条件和小结论，证明时，要紧盯结论中的小结论，即最终的目标，从结论中的小条件出发，过渡到条件中的小条件，再由条件中的小条件得出条件中的小结论，最后由条件中的小结论推得结论中的小结论。为了更加清楚地描述上述过程，给出如下图形：

下面以一个例子说明这种方法.：

设 α1,α2,α3线性无关，证明 α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。

将本例中的上述要素列举如下：

条件：α1,α2,α3线性无关结论：α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关

小条件：t1α1+t2α2+t3α3=0 小条件：x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)=0

小结论：t1=t2=t3=0 小结论：x1=x2=x3=0

我们最终是要证明结论中的小结论：x1=x2=x3=0，按照上面的分析，首先从结论中的小条件：x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)=0 出发，怎样过渡到条件中的小条件呢？因为条件中的小条件：t1α1+t2α2+t3α3=0 的左边是一个关于 α1,α2,α3的线性组合，于是将 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)变形为(x1+x3)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3，这样就由结论中的小条件过渡到了条件中的小条件，再到条件中的小结论，即得x1+x3=x1+x2=x2+x3=0，稍加计算就得到了结论中的小结论，即完成证明。

这种证明方法在高等代数的例题与习题中经常出现，如果学生掌握了，那将解决相当一部分问题。

2 直接指出抽象理论的数学实质

高等代数由于概念多，理论抽象，所以很多知识点学生一时难以把握其实质。如果教师在对这些知识点讲解后，再指出它的数学实质，将对学生的学习起到事半功倍的效果。比如学生在刚接触特征值与特征向量这对孪生概念时，觉得特别抽象，然后又学习了它们的求法，对于求法的分析篇幅较长，使得初学者更是云里雾里，不知到底是怎么求。如果此时教师指出求特征值的实质就是解方程，求特征向量的实质就是解方程组，那么学生就能针对刚才教师的分析，结合所指出的实质，有一种豁然开朗的感觉，即使对求法的分析过程还有些许不理解，也不影响对特征值与特征向量的求解，从而使他们在学习中能产生成就感，提高学习积极性。再比如在刚接触线性变换的值域与核的概念时，它们同样使初学者感到高度抽象，再谈它们的求法，初学者从内心深处就很害怕，如果在解释了它们的求法后，再指出求线性变换的值域其实就是求一个向量组的极大无关组，而求核实际上就是解一个方程。这样使初学者感到这么抽象的概念的求法也不是那么高深，其实质就是自己早已熟悉的知识，于是不再对它们产生排斥。

3 运用类比方法来讲授抽象理论

高等代数中很多内容都比较抽象，初学者一时难以理解，如果能运用类比的方法在生活中找到模型，这对学生理解这些抽象的理论将大有帮助。比如在讲到向量的坐标时，由于中学里学生熟悉的向量（x,y,z）的坐标就是（x,y,z），这实际上是因为在 R3里选择了标准正交基е1,е2,е3才有如此好的结果。如果换一组基，同一个向量的坐标就不一样了，而且这两个坐标之间还有一定的关系，初学者这时就觉得比较陌生了。这时不妨如下类比：将某人的身高看做向量，现用不同的尺子来测量，这些尺子可以看作是空间中的不同的基，所测出来的结果即可类比为向量的坐标。假设某人的身高正好是两米，如果尺子的单位是米，则所测结果为2，如果尺子单位是厘米，则所测结果为200，如果尺子单位是尺，则结果为6，这里2、200和6就是同一个人的身高（同一个向量）在不同的尺子（不同基）下的测量结果（坐标），而这些测量结果（坐标）之间的关系，是与尺子的单位（基）有关的，1米=3尺，因此2=×6,有了这个类比，初学者就很容易理解同一个向量在不同基下的坐标之间的关系了。