圆盘锯齿型石墨烯量子点的电子结构研究

姚志东，陆肖励

(浙江师范大学 物理系，浙江 金华 321004)

圆盘锯齿型石墨烯量子点的电子结构研究

姚志东，陆肖励

(浙江师范大学 物理系，浙江 金华 321004)

通过数值求解Dirac方程，研究了在垂直磁场下锯齿型(zigzag)石墨烯(graphene)量子点的能谱结构。无磁场时，量子点能谱没有带隙，并存在能量为零的边界态。当外加磁场时，能谱中出现朗道能级，最低朗道能级能量为零且与磁场大小无关，随着磁场的增加，朗道能级简并度会随之增加。同时发现，磁场对K点与K’点的能谱结构有不同的影响，导致谷(valley)间简并被破坏。

石墨烯;量子点;电子结构;朗道能级

0 引言

石墨烯(graphene)是碳原子分布在二维蜂巢晶格点阵上的单原子层晶体。自从2004年Novoselov等人利用机械剥离方法制备并且成功观测到以来［1］，这类材料已引起了人们广泛的研究。石墨烯具有一些奇特的电子性质:载流子可以看作是无质量的狄拉克费米子［2］，具有奇异的量子霍尔效应［3］等。基于石墨烯，人们可以将之加工成各种形状，最常见的是石墨烯纳米带，对纳米带的电子结构的研究也有了很多的结果［4，5］，从而为制作未来石墨烯纳米器件奠定了理论基础。

最近，石墨烯量子点已在理论和实验上得到了广泛研究，已有多个小组通过不同的实验方法制造出了石墨烯量子点，并研究了其在磁场下的能谱结构，在强磁场下观测到了朗道能级［6］。由于石墨烯中的载流子遵循相对论性量子力学中的Dirac方程，因此与传统的二维电子系统相比，这种材料的能谱结构有着明显的不同。例如，石墨烯中的最低朗道能级能量为零［3］。

本文将通过数值求解Dirac方程，来研究扶手型边界下圆盘形量子点在垂直磁场下的能谱结构，量子点半径与能隙的关系，以及最低朗道能级的简并度与磁场以及量子点半径的关系，计算结果对圆盘形石墨烯量子点的实际应用具一定的有指导意义。

1 计算模型和计算方法

1.1 理论模型

考虑半径为R的圆盘形石墨烯量子点，在垂直磁场下模型的哈密顿量可表示为［7］

系统的本征方程为 Hφ(r，θ)=Eφ(r，θ)，波函数为二分量旋量由于总的角动量算符，，与哈密顿量对易，即［H，Jz］=0，所以我们可以把系统的本征态在极坐标下设为［8］

其中m为角动量量子数 (m=0，±1，±2，…)，代入本征方程可得到两个耦合的本征方程组

其中:Φ0=h/e为单位磁通量子。

1.2 计算方法

为了求解方程(3)的解，采用有限差分的方法，考虑锯齿型边界条件［8］

方程(3)可以离散化为

以上方程组可以写成对称矩阵的形式，对于每一个m值对角化矩阵就可以得到相应的本征值，从而得到体系的能谱结构。本文中为了方便，我们将把石墨烯中碳－碳原子间距离(a=0.142nm)作为长度单位，hvF为能量单位［8］。

图1 石墨烯量子点K’点在不同磁场下的能谱结构(R=50a) (a)B=0(b)B=10(c)B=20

2 计算结果与讨论

根据以上的模型以及计算方法，我们首先计算了不同磁场下量子点的K点以及K’的能谱结构，图1为K’点不同磁场下能谱结构。由图1中可知，当B=0时能谱分为正负能量两支并呈现线性能谱结构，这与解析结果相符合。正的能量表示电子的能谱，而负的能量描述空穴的能谱，并且正负能量是对称的，表示石墨烯中的电子－空穴的对称性。同时，能谱中存在能量为零的边界态，当外加磁场增加时，边界态能量并不改变。当外加磁场时，能谱中会出现朗道能级，且最低的朗道能级能量为零［3，6］，随着磁场的增强，会有更多的状态形成朗道能级，朗道能级的简并度增加，并且朗道能级间的间隔并不是均匀的，这与传统的二维电子气有所不同。同时，我们可以看到，外加较强磁场时，会有新的能量为零的态的出现，这些新的零能态为最低朗道能级。

图2为K点不同磁场下能谱结构，可以看出当磁场增强时，边界态依然存在并没有变化，同时可以看出没有更多的零能态的出现。这与K’点的情况有明显不同，这表明当采用zigzag边界条件时，K点和K’点的简并消除了，这可以由边界条件式(4)得出。当我们采用式(4)的边界时，对于A、B分量我们采用了不同的边界条件，因此会使得K点和K’点的简并消除。

图2 石墨烯量子点K点在不同磁场下的能谱结构(R=50a) (a)B=0(b)B=10(c)B=20

为了研究朗道能级与磁场的关系，我们计算了能谱与磁场的关系，见图3。图3中虚线(黑色)代表K点，实线(红色)代表K’点。由图3可以清楚地看出在强磁场下朗道能级的形成。最低朗道能级(n=0)能量为零并与磁场大小无关，而其余的朗道能级的能量则随着磁场的增大而增加，这与二维自由电子气有明显的差别。

图3 石墨烯量子点的能谱与磁场的关系 (R=50a)，图中标识了n=0，±1，±2五个朗道能级

3 结论

通过数值求解Dirac方程，我们计算了垂直磁场作用下锯齿型(zigzag)边界圆盘形石墨烯量子点的能谱。计算结果表明，无磁场时，量子点能谱没有带隙，并存在能量为零的边界态。当外加磁场时，能谱中出现朗道能级，最低朗道能级能量为零且与磁场大小无关，随着磁场的增加，其它朗道能级能量会增大，朗道能级简并度会随之增加。同时我们发现，磁场对K点与K’点的能谱结构有不同的影响，导致谷(valley)间简并被破坏。这些结果为研究石墨烯量子点霍尔效应提供了理论依据并对基于圆盘形石墨烯量子点的器件设计具有指导意义。

［1］ Novoselov K S，Geim A K，Morozov S V，et al.Electric field effect in atomically thin carbon films［J］.Science，2004，306:666.

［2］ Novoselov K S，Geim A K，Morozov S V，et al.Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene［J］.Nature，2005，438:197.

［3］ Zhang Y B，Tan Y W，Stormer H L，et al.Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry＇s phase in graphene［J］.Nature，2005，438:201.

［4］ 欧阳方平，徐慧，魏辰.Zigzag型石墨纳米带电子结构和输运性质的第一性原理研究［J］.物理学报，2008(57):1073.

［5］ 毕冬梅，赵利军，付志雄.不同宽度锯齿型石墨烯纳米带的第一原理研究［J］.长春大学学报，2010(6):63.

［6］ Ponomarenko L A，Schedin F，Katsnelson M I，et al.Chaotic Dirac Billiard in Graphene Quantum Dots［J］.Science，2008，320:356.

［7］ Schnez S，Ensslin K，Sigrist M，et al.Analytic model of the energy spectrum of a graphene quantum dot in a perpendicular magnetic field［J］.Phys.Rev.B，2008，78:195427.

［8］ Pereira V M，Nilsson J，Castro Neto A H.Coulomb Impurity Problem in Graphene［J］.Phys.Rev.Lett，2007，99:166802.

A research on the electronic structure of circular zigzag graphene quantum dot

YAO Zhi-dong，LU Xiao-li

(Physics Department，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China)

This paper studies the energy spectral structure of circular zigzag graphene quantum dot(GQD)in the presence of a perpendicular magnetic field by solving Dirac equation numerically.The energy spectrum has edge states with zero energy in the absence of a magnetic field.The Landau levels will appear and the degeneracy of the Landau levels increases as the magnetic field increases.The lowest Landau level energy is zero and has correlation with the magnetic field.We also find that the magnetic field has effects on the electronic structure of K point and K’point differently，which breaks the valley degeneracy.

graphene;quantum dot;electronic structure;Landau level

O469

A

1009－3907(2011)06－0061－04

2011-04-06

姚志东(1985-)，男，河北唐山人，硕士研究生，主要从事凝聚态理论方面研究。

责任编辑:钟 声